[答131] ５の累乗で首位が１のものの個数

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[答131] ５の累乗で首位が１のものの個数


　5⁶⁶⁴≒1．31×10⁴⁶⁴ になります。

　nを664以下の自然数として、5ⁿ の一番上の位が１のものは、n＝664 を含めて何個？


[解答]

　5ⁿ に比べて 5^n＋1 がどうなるかを考えます。

　5ⁿ の一番上の位が１の場合は、一番上の位が５以上で桁数が同じです。

　5ⁿ の一番上の位が２以上の場合は、桁数が１増えます。

　つまり、5¹(1桁) から始まって、どの桁数の 5ⁿ も存在し、

　１つの桁に２種類存在する場合は一番上の位が１のものと５以上のものになります。

　5¹ は 1 桁で、5⁶⁶⁴ は 465 桁だから、ダブっている桁は、664－465＝199 個です。

　一番上の位が１のものは、5⁶⁶⁴ を含めて、200 個です。　

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