FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1412] 等式を満たす自然数の組

ヤドカリ

ヤドカリ

P6270421.jpg



[答1412] 等式を満たす自然数の組


 x<y<z ,24(x+1)(y+1)(z+1)=65xyz を 満たす自然数の組(x,y,z)=?


[解答]

 24(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=65 です。

 x≧2 とすれば y≧3 ,z≧4 、1+1/x≦3/2 ,1+1/y≦4/3 ,1+1/z≦5/4 、

 24(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)≦24(3/2)(4/3)(5/4)=60 だから成り立ちません。

 よって、x=1 であり、

 48(y+1)(z+1)=65yz 、17yz-48y-48z=48 、17y・17z-48・17y-48・17z=48・17 、

 (17y-48)(17z-48)=48・65<562 です。

 z≧3 だから、17z-48 は自然数、よって、17y-48 も自然数です。

 17y-48=3,20,37,54 に絞られ、48・65 の約数だから、17y-48=3,20 です。

  17y-48=3 のとき、17z-48=1040 、(y,z)=(3,64) 、

  17y-48=20 のとき、17z-48=156 、(y,z)=(4,12) です。

 よって、(x,y,z)=(1,3,64),(1,4,12) です。

.
スポンサーサイト



Comments 2

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンターク ^^

>48(y+1)(z+1)=65yz 、17yz-48y-48z=48 、17y・17z-48・17y-48・17z=48・17 、
>(17y-48)(17z-48)=48・65<562 です。
>z≧3 だから、17z-48 は自然数、よって、17y-48 も自然数です。
>17y-48=3,20,37,54 に絞られ、48・65 の約数だから、17y-48=3,20 です。

うまい変形と絞り込みですね☆
わたしゃ、かなりプリミティブに=多くの計算をしまくりましたです ^^;

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
解答に対する評価を頂き、恐縮です。
解けても、なるべく能率の良い解答を考えてみたいものです。