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[答1413] 面積の最小値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1413] 面積の最小値


 放物線 y=2x2 と 点P(p,2p2)での法線によって囲まれる部分の面積をS(p)とするとき、
1413-グラフ
 S(p)を最小にするpの値は? また、S(p)の最小値は?


[解答]

 y'=4x だから、法線の傾きは -1/(4p) 、法線は y-2p2=-(x-p)/(4p) です。

 交点のx座標は、y=2x2 を代入して、2x2-2p2=-(x-p)/(4p) 、2(x-p)(x+p)=-(x-p)/(4p) 、

 8p(x-p)(x+p)+(x-p)=0 、(x-p){8p(x+p)+1}=0 、x=p,-p-1/(8p) です。

 x2 の係数が a の放物線と直線で囲まれる部分の面積は 交点のx座標をα,βとすれば、

 (|a|/6)|β-α|3 だから、

 S(p)=|2p+1/(8p)|3/3 であり、2p,1/(8p) が同符号なので、S(p)=(|2p|+1/|8p|)3/3 です。

 相加・相乗平均の関係により、|2p|+1/|8p|≧2√(|2p|・1/|8p|)=1 で、

 等号が成り立つのは、|2p|=1/|8p| のときで、16p2=1 、p=±1/4 で、

 S(p)の最小値は S(±1/4)=1/3 です。

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