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[答1414] データの標準偏差

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1414] データの標準偏差


 338個のデータ xk=2cos(kπ/338) (k=1,2,3,……,338) の標準偏差は?


[解答1]

 θ=π/338 ,Σを k=1,2,3,……,338 の和とします。

 xksin(θ/2)=2cos(kθ)sin(θ/2)=sin(kθ+θ/2)-sin(kθ-θ/2) だから、

 Σxksin(θ/2)=sin(338θ+θ/2)-sin(θ/2)=sin(π+θ/2)-sin(θ/2)=-2sin(θ/2) 、

 Σxk=-2 です。

 xk2=4cos2(kθ)=2+2cos(2kθ) 、

 (xk2-2)sinθ=2cos(2kθ)sinθ=sin(2kθ+θ)-sin(2kθ-θ) だから、

 Σ(xk2-2)sinθ=sin(676θ+θ)-sinθ=sin(2π+θ)-sinθ=0 、

 Σ(xk2-2)=0 、Σxk2=676 です。

 平均は (Σxk)/338=-2/338=-1/169 、

 分散は (Σxk2)/338-(-1/169)2=676/338-(1/169)2=2-1/1692=57121/1692

 標準偏差は、239/169=1.41420…… です。 


[解答2]

 Σを k=1,2,3,……,338 の和とします。

 また、z=cos(π/338)+i・sin(π/338) ,Z=cos(π/169)+i・sin(π/169) とします。

 xk=2cos(kπ/338)=zk+z-k であり、

 zk (k=-338,-337,……,-3,-2,-1,0,1,2,3,……,337) は

 1 の 676乗根のすべてであり、その和は 0 ですので、

 Σxk-z338+z0=0 、z338=cosπ+i・sinπ=-1 だから、

 Σxk+1+1=0 、Σxk=-2 です。

 xk2=4cos2(kπ/338)=2+2cos(kπ/169) 、xk2/2-1=cos(kπ/169) 、

 xk2/2-1+i・sin(kπ/169)=Zk

 Zk (k=1,2,3,……,338) は 1 の 338乗根のすべてであり、その和は 0 ですので、

 Σ{xk2/2-1+i・sin(kπ/169)}=0 、(Σxk2)/2-338+i・Σsin(kπ/169)=0 、

 Σxk2+2i・Σsin(kπ/169)=676 、両辺の実部は Σxk2=676 です。

 平均は (Σxk)/338=-2/338=-1/169 、

 分散は (Σxk2)/338-(-1/169)2=676/338-(1/169)2=2-1/1692=57121/1692

 標準偏差は、239/169=1.41420…… です。 

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Comments 2

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンターク ^^

標準偏差の指揮を調べて[解答2]のように考えて取り組みました ^^;v
平均値よりも標準偏差が大きいのは? & 標準偏差がコメントで触れられていたように√2に近いのは?
どうしてなんでしょうかねぇ...^^...?

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
平均値よりも標準偏差が大きいのはそんな設定だからです。
すべてのデータに何かを加えると、平均はその分だけ増えますが、
標準偏差は不変です。
また、この形でデータ数をn個にすれば、
平均は -2/n ,分散は 2-(2/n)^2 になりますので、
標準偏差は √2 の近似値になります。