FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1415] 内接円の半径と三角形の辺の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ

P7050581.jpg



[答1415] 内接円の半径と三角形の辺の長さ


 △ABCの ∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとします。
1415-内接円と辺
 △ABD,△ADC,△ABC の内接円の半径がそれぞれ 9,10,15 のとき、BC=?


[解答1]

 AD=a ,BD=b ,CD=c ,AB=bk ,AC=ck とします。

 多角形では 内接円の半径は 面積の2倍を周囲の長さで割ったものであり、

 △ABD,△ADC,△ABC の面積比は BD:CD:BC=b:c:(b+c) だから、

 b/(a+b+bk):c/(a+c+ck):(b+c)/(b+bk+c+ck)=9:10:15 、

 (a+b+bk)/b:(a+c+ck)/c:(b+bk+c+ck)/(b+c)=1/9:1/10:1/15 、

 (a/b+1+k):(a/c+1+k):(1+k)=10:9:6 、a/b:a/c:(1+k)=4:3:6 、

 1/b:1/c=4:3=1/3:1/4 だから、b:c=3:4 、b=3m ,c=4m とおくと、

 a/b:(1+k)=4:6 より a:(1+k)b=2:3 、a=2(1+k)b/3=2(1+k)m です。

 ADは ∠Aの二等分線だから、AD2=AB・AC-BD・CD 、a2=bck2-bc=bc(k+1)(k-1) 、

 22(1+k)2m2=3m・4m(k+1)(k-1) 、22(1+k)=3・4(k-1) 、1+k=3(k-1) 、k=2 です。

 よって、AB=bk=6m ,AC=ck=8m ,BC=b+c=7m です。

 (6m+8m+7m)/2=21m/2 だから、△ABCの内接円の半径は、

 √{(21m/2-6m)(21m/2-8m)(21m/2-7m)/(21m/2)}=(m/2)√15 、

 (m/2)√15=15 だから、m=2√15 、BC=7m=14√15 です。


[解答2] 三角比を用いた たけちゃんさんのコメントより

1415-内接円と辺
 △ABCの内心を I とすると I はAD上にある.

 また,△ABDの内心を J とすると,J,I は ∠Bの二等分線上にあり,

 J と直線BCの距離が9,I と直線BCの距離が15だから,BJ:BI=9:15=3:5.

 (AB+BD):AD=(△JAB+△JBD):△JDA=BJ:JI=3:2.

 Bから△ABDの内接円の接点までの距離は 9/tan(∠B/2) だから,

 {2・9/tan(∠B/2)+AD}:AD=3:2 ,9/tan(∠B/2)=AD/4.

 △ACDの内心について同様の考察から,(AC+CD):AD=2:1=4:2

 および 10/tan(∠C/2)=AD/2 ,5/tan(∠C/2)=AD/4 を得る.

 AD/4=k とおけば,tan(∠B/2)=9k,tan(∠C/2)=5k.

 一方,BD:CD=AB:AC だから,(AB+BD):(AC+CD)=AB:AC であり,AB:AC=3:4.

 これと正弦定理より,sin∠B:sin∠C=4:3であり,

 tan(∠B/2)/{1+tan2(∠B/2)}:tan(∠C/2)/{1+tan2(∠C/2)}=4:3 だから,

 9k/(1+81k2):5k/(1+25k2)=4:3 となって,

 27(1+25k2)=20(1+81k2). k2=1/135 より,k=1/(3√15).

 BC=15/tan(∠B/2)+15/tan(∠C/2)=15/(3/√15)+15/(5/(3√15))=5√15+9√15=14√15.

.
スポンサーサイト



Comments 0

There are no comments yet.