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[答1416] 定積分の値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1416] 定積分の値


 0π/2{64sin5θ/(sinθ+cosθ)}dθ の値は?


[解答1]

 I=0π/2{64sin5θ/(sinθ+cosθ)}dθ とおき、

 θ=π/2-φ として置換積分すれば、

 I=π/20{64cos5φ/(cosφ+sinφ)}(-dφ)=0π/2{64cos5θ/(sinθ+cosθ)}dθ になり、

 2I=0π/2{64(sin5θ+cos5θ)/(sinθ+cosθ)}dθ だから、

 I=0π/2{32(sin5θ+cos5θ)/(sinθ+cosθ)}dθ

  =0π/232(sin4θ-sin3θcosθ+sin2θcos2θ-sinθcos3θ+cos4θ)dθ

  =0π/232(sin4θ+sin2θcos2θ+cos4θ)dθ-0π/232(sin3θcosθ+sinθcos3θ)dθ

  =0π/232{(sin2θ+cos2θ)2-sin2θcos2θ}dθ-0π/232sinθcosθ(sin2θ+cos2θ)dθ

  =0π/2(32-8sin22θ)dθ-0π/232sinθcosθdθ

  =0π/2{32-4(1+cos4θ)}dθ-16[sin2θ]0π/2

  =0π/2(28-4cos4θ)dθ-16=28[θ]0π/2-[sin4θ]0π/2-16=14π-16 です。


[解答2] たけちゃんさんのコメントより

 sinθ+cosθ=(√2)cos(θ-π/4)であることに注意して,θ-π/4=t と置換すると,

 (与式)=(32√2)-π/4π/4 sin5(t+π/4)/costdt

  =8-π/4π/4 (sint+cost)5/costdt

  =8-π/4π/4 {sin5t/cost+5sin4t+10sin3tcost+10sin2tcos2t+5sintcos3t+cos4t} dt

  =160π/4 (5sin4t+10sin2tcos2t+cos4t) dt

  =160π/4 {3(sin2t+cos2t)2-2(cos4t-sin4t)+4(sintcost)2} dt

  =160π/4 {3-2(cos2t+sin2t)(cos2t-sin2t)+4(sintcost)2} dt

  =160π/4 (3-2cos2t+sin22t) dt

  =80π/4 (6-4cos2t+1-cos4t) dt

  =8 [7t-2sin2t-(1/4)sin4t]0π/4

  =14π-16.

.
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Comments 2

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スモークマン  
グーテンターク ^^

勉強になりました ^^;v

sinθ+cosθ=cos(θ-π/4) になることには気づいたのですが...そのあとどうすればいいのかさっぱり ^^;;

>8∫-π/4 π/4 {sin^5t/cost+5sin^4t+10sin^3tcost+10sin^2tcos^2t+5sintcos^3t+cos^4t} dt

> =16∫0 π/4 (5sin^4t+10sin^2tcos^2t+cos^4t) dt

は、奇関数は無視でき,偶関数だけは[0,π/4]の2倍になるからですのね ^^

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
sinをcos,cosをsinに変えても変わらないことに気づけば[解答1]、
三角関数の合成を思いつけば[解答2]ですね。