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[答1419] 内接円と辺の長さ

ヤドカリ

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[答1419] 内接円と辺の長さ


 AC=1 である△ABCの内接円と辺AB,辺ACとの接点をそれぞれF,Eとし、BEとCFの交点をPとします。
1419-内接円と辺0
 BP:PE=92:15 ,CP:PF=84:23 とするとき、(AB,BC)=?


[解答1]

 △ABCの内接円と辺BCとの接点をそれぞれDとし、AE=AF=a ,BF=BD=b ,CD=CE=c とします。

 メネラウスの定理より、(FA/AB)(BE/EP)(PC/CF)=1 、BA/AF=(BE/EP)(PC/CF) 、

 (a+b)/a=(107/15)(84/107)=28/5 、b/a=23/5 になり、

 メネラウスの定理より、(EA/AC)(CF/FP)(PB/BE)=1 、CA/AE=(CF/FP)(PB/BE) 、

 (a+c)/a=(107/23)(92/107)=4 、c/a=3 になります。

 AB:BC:CA=(a+b):(b+c):(c+a)=(1+b/a):(b/a+c/a):(c/a+1)

  =(1+23/5):(23/5+3):(3/a+1)=28/5:38/5:4=7/5:19/10:1 なので、

 (AB,BC)=(7/5,19/10)=(1.4,1.9) です。


[解答2]
1419-内接円と辺
 △ABCの内接円と辺BCとの接点をそれぞれDとし、AE=AF=a ,BF=BD=b ,CD=CE=c とします。

 (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=(b/c)(c/a)(a/b)=1 だから、

 AD,BE,CFはチェバの定理の逆より1点で交わります。

 △ABC:△PCA=BE:PE=107:15 ,△ABC:△PAB=CF:PF=107:23 だから、

 △ABC:△PBC=△ABC:(△ABC-△PCA-△PAB)=107:(107-15-23)=107:69 になり、

 a:b=AF:FB=△PCA:△PBC=15:69=5:23 ,b:c=BD:DC=△PAB:△PCA=23:15 になり、

 a:b:c=5:23:15 、AB:BC:CA=(a+b):(b+c):(c+a)=28:38:20=7/5:19/10:1 なので、

 (AB,BC)=(7/5,19/10)=(1.4,1.9) です。


[解答3]

 複素平面上で、A(0),B(b),C(1),E(e),F(f),P(p) (eは実数 0<e<1) とします。

 BはEPを 107:92 に外分するので b=(-92e+107p)/15 、 

 FはCPを 107:23 に外分するので f=(-23+107p)/84 になります。 

 f/b は実数で p は虚数だから、92e=23 、e=1/4 、b=(-23+107p)/15 です。

 また、|f|=|e| より |-23+107p|/84=1/4 、|-23+107p|=21 です。

 AB=|b|=|-23+107p|/15=21/15=7/5 、BC=|b|-|f|+|c|-|e|=7/5-1/4+1-1/4=19/10 、
 
 (AB,BC)=(7/5,19/10)=(1.4,1.9) です。

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