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[答1421] 3個の正方形

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1421] 3個の正方形


 正方形ABCDの内部に点Pがあって、正方形BEFP,正方形DGPHを描きます。

 ただし、E,Hが正方形ABCDの内部にあるものとします。
1421-正方形0
 C,E,Fが一直線上にあり、正方形ABCD,正方形BEFPの1辺がそれぞれ 3,2 であるとき、

 正方形DGPHの一辺は? また、△PEHの面積は?


[解答1]

 複素平面上で A(3i),B(0),C(3),D(3+3i),E(a+bi),G(3+c+(3+d)i) とします。

 (a+bi)i=-b+ai ,(c+di)i=-d+ci だから、F(-b+ai),H(3-d+(3+c)i) です。

 また、P(a-b+(a+b)i) であり、P(3+c-d+(3+c+d)i) ですので、

 a-b=3+c-d ,a+b=3+c+d 、c=a-3 ,d=b になり、G(a+(3+b)i),H(3-b+ai) です。

 次に、有向線分CE,CFを表す複素数は a-3+bi,-b-3+ai で、一方が他方の実数倍ですので、

 (a-3):b=(-b-3):a 、a2-3a=-b2-3b 、a2+b2=3a-3b になり、

 a2+b2=BE2=4 だから b=a-4/3 、a2+(a-4/3)2=4 、9a2+(3a-4)2=36 、

 18a2-24a=20 、9a2-12a=10 、(3a-2)2=14 、3a=√14+2 です。

 DG2=c2+d2=(a-3)2+b2=a2+b2-6a+9=4-2(√14+2)+9=9-2√14=(√7-√2)2

 正方形DGPHの一辺は DG=√7-√2 です。 

 また、有向線分PE,PHを表す複素数は b-ai,3-a-bi ですので、

 △PEH={b(-b)-(-a)(3-a)}/2=(-b2-a2+3a)/2=(-4+3a)/2=3a/2-2

  =(√14+2)/2-2=(√14)/2-1 です。


[解答2]

 正方形BEFP,正方形DGPHの中心をそれぞれQ,Rとします。
1421-正方形
 線分BPの垂直二等分線上に点Cがあるので、CB=CP=3 になり、

 CB=CP=CD だから、△CDPの中線CRとその延長上にH,Gがあります。

 また、∠QCR=∠BCD/2=45゚ です。

 次に、PQ=2/√2=√2 、CQ=√(CP2-PQ2)=√7 であり、

 右図のように、CP:PR:CR=3√2:(√7-√2):(√7+√2)=3:(√7-√2)/√2:(√7+√2)/√2 、

 CP=3 だから、PR=(√7-√2)/√2=(√14)/2-1 、正方形DGPHの一辺は PR√2=√7-√2 です。

 四角形CRPQに着目すれば、∠QPR=360゚-45゚-90゚-90゚=135゚ 、∠EPR=135゚-45゚=90゚ だから、

 △PEH=(1/2)PE・PR=PR=(√14)/2-1 です。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンアーベント ^^

大変な計算で回答した後、
B,P,Dが同一円周上にあることに気づけ、・・・[解答2]に近いのかな?
角EPH=45° にも気づけ...
ピタゴラスとtan45°=1
から、少なくて易しい計算で求めることができました ^^v

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
[解答2]は三角比を避け、中学の内容で解きました。