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[答1422] 外心が中点

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1422] 外心が中点


 BC=192,CA=120,AB=168 の △ABCの 辺AB上に点D,辺AC上に点Eを、
1422-外心が中点0
 DEの中点が △ABCの外心O になるようにとるとき、(BD,CE,OD)=?


[解答1]

 座標平面で、O(0,0),A(a,b),B(-96,-c),C(96,-c) (b>0,c>0) とおけば、

 AB2=(a+96)2+(b+c)2=1682 ,AC2=(a-96)2+(b+c)2=1202 だから、

 AB2-AC2=384a=(168+120)(168-120) 、384a=288・48 、a=36 になり、

 (36-96)2+(b+c)2=1202 、(b+c)2=(120+60)(120-60)=180・60 、b+c=60√3 です。

 OA2=OC2 より、a2+b2=962+c2 、(b+c)(b-c)=(96+a)(96-a) 、(60√3)(b-c)=132・60 、

 b-c=44√3 、よって、b=52√3 ,c=8√3 、

 O(0,0),A(36,52√3),B(-96,-8√3),C(96,-8√3) になります。

 また、AB:5x-11y/√3+392=0 ,AC:x+y/√3-88=0 になり、

 ABを原点に関して対称移動すれば、5x-11y/√3-392=0 、これとACの交点は、

 (85,3√3) になり、E(85,3√3),D(-85,-3√3) です。

 AD:DB=11:1 になり、BD=(1/12)AB=(1/12)・168=14 、

 AE:EC=49:11 になり、CE=(11/60)AC=(11/60)・120=22 、

 OD2=OE2=852+(3√3)2=7252 、OD=OE=14√37 、

 (BD,CE,OD)=(x,y,z)=(14,22,14√37) です。


[解答2]

 BC:CA:AB=192:120:168=8:5:7 だから、cosA=(52+72-82)/(2・5・7)=1/7 ,

 cosB=(72+82-52)/(2・7・8)=11/14 ,cosC=(82+52-72)/(2・8・5)=1/2 、

 sinA=(4√3)/7 ,sinB=(5√3)/14 ,sinC=(√3)/2 、

 sin2A:sin2B:sin2C=sinAcosA:sinBcosB:sinCcosC=(4√3)/49:(55√3)/196:(√3)/4 、

 sin2A:sin2B:sin2C=16:55:49 になり、

 ベクトルを太字で表せば、AO=(16AA+55AB+49AC)/120=(11AB/12+49AC/60)/2 、

 ABACは一次独立で Oは DEの中点だから、AD=11AB/12 ,AE=49AC/60 です。

 AD=11AB/12=11・168/12=154 ,AE=49AC/60=49・120/60=98 、BD=168-154=14 ,CE=120-98=22 、

 DE2=AD2+AE2-2・AD・AE・cosA=1542+982-2・154・98/7=142(112+72-2・11・7/7)=142・148 、

 DE=14・2√37 、OD=DE/2=14√37 です。


[解答3]

 BD=x ,CE=y ,OD=OE=z とすれば、AD=168-x ,AE=120-y です。

 また、△ABCの外接円と直線DEの交点のうち Dに近い方をP,Eに近い方をQとします。
1422-外心が中点
 cosC=(BC2+CA2-AB2)/(2BC・CA)=(242・82+242・52-242・72)/(2・24・8・24・5)

  =(82+52-72)/(2・8・5)=40/(2・8・5)=1/2 だから、

 sinC=(√3)/2 、外接円の半径は AB/(2sinC)=168/√3=56√3 です。

 従って、DP=EQ=56√3-z ,DQ=EP=56√3+z です。

 方べきの定理より、DB・DA=DP・DQ=EQ・DP=EC・EA だから、

 x(168-x)=(56√3-z)(56√3+z)=y(120-y) 、x(168-x)=9408-z2=y(120-y) です。

 また、中線定理より、AD2+AE2=2(AO2+DO2) 、(168-x)2+(120-y)2=2(9408+z2) です。

 x(168-x)=9408-z2 ,y(120-y)=9408-z2 ,(168-x)2+(120-y)2=2(9408+z2) を

 辺々加えて、168(168-x)+120(120-y)=4・9408 、7(168-x)+5(120-y)=1568 、

 1176-7x+600-5y=1568 、5y=208-7x です。

 x(168-x)=y(120-y) だから、25x(168-x)=5y(600-5y) 、25x(168-x)=(208-7x)(392+7x) 、

 25・168x-25x2=208・392-184・7x-49x2 、24x2+5488x-81536=0 、3x2+686x-10192=0 、

 (x-14)(3x+728)=0 、x=14 になり、5y=208-7x=110 、y=22 、

 x(168-x)=9408-z2 より z2=9408-x(168-x)=9408-14・154=7252 、z=14√37 、

 (BD,CE,OD)=(x,y,z)=(14,22,14√37) です。


[参考] [解答2]に関してのたけちゃんさんのコメントより
ベクトルと面積比
.
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Comments 6

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンターク ^^

勉強になります☆
以下の部分を教えてください 〜m(_ _)m〜

>sin2A:sin2B:sin2C=16:55:49 になり、
>ベクトルを太字で表せば、AO=(16AA+55AB+49AC)/120=(11AB/12+49AC/60)/2

2倍角を使って、上のように表せるところがわかりません ^^;

たけちゃん  

私が解説するのも僭越ではありますが,答えさせていただきます.

一般論として,三角形ABCの内部に点Pをとったとき,三角形の面積比が
△PBC:△PCA:△PAB=α:β:γとなったとします.

APの延長と辺BCの交点をQとすると,
△AQB:△AQC=△PAB:△PAC=γ:βより,BQ:QC=γ:βだから,
(ベクトルAQ)=(β(ベクトルAB)+γ(ベクトルAC))/(β+γ).…[1]

△ABP:△BPQ=△ACP:△CPQ=(△ABP+△ACP):(△BPQ+△CPQ) (加比の理)
=(△ABP+△ACP):(△ABC-△BCP)=(β+γ):αより,
AP=((β+γ)/(α+β+γ))AQだから,
(ベクトルAP)=((β+γ)/(α+β+γ))(ベクトルAQ).…[2]

[1],[2]より,
(ベクトルAP)=(β(ベクトルAB)+γ(ベクトルAC))/(α+β+γ)…[*]
となります.
(あるいは,任意の点Xを始点にして,
(ベクトルAP)=(ベクトルXP)-(ベクトルXA)などを用いると,
(ベクトルXP)=(α(ベクトルXA)+β(ベクトルXB)+γ(ベクトルXC))/(α+β+γ)
と表現することもできます.)

本問では,∠BOC=2∠A,∠COA=2∠B,∠AOB=2∠Cなので,
外接円の半径をRとすれば,
△OBC=((R^2)/2)sin2A,△OCA=((R^2)/2)sin2B,△OAB=((R^2)/2)sin2C
となるので,△OBC:△OCA:△OAB=sin2A:sin2B:sin2Cであり,
[*]を用いて,ベクトルAOがベクトルABとベクトルACで表されます.

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
そこの所を詳しく書くと長くなりますので省略しましたが、
たけちゃんさんが答えてくれました。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
詳しく書くと長くなりますので省略しましたが、
面積比がそのまま位置ベクトルを求める式になることを
ほぼ貴殿のコメント通りに、[参考]として本文に加えました。

スモークマン  
グーテンアーベント Orz〜

たけちゃん様、ヤドカリ様、解説いただきありがとうございました〜m(_ _)m〜
おかげさまでよくわかりました ^^♪
面積比で考えればよく、それでsin(円の中心角2A,2B,2C)を考えればいいことにつながりました ^^☆

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント Orz〜

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
使えれば便利な性質です。