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[答1424] 体積最大の正四角錐

ヤドカリ

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[1424] 体積最大の正四角錐


 図のように 与えられた正方形から 辺を底辺とする二等辺三角形4個を切り取り、

 体積が最大になるような 正四角錐の展開図にします。
1424-体積最大0
 切り取られた二等辺三角形1枚の面積が 89/10 のとき、正四角錐の表面積は? また、体積は?


[解答]

 元の正方形の対角線の長さを 2a ,正四角錐の体積を V ,底面の1辺を 2x ,高さを h とします。
1424-体積最大
 h2=(a-x)2-x2=a2-2ax=a(a-2x) ,V=(2x)2h/3=4x2h/3 だから、

 V2=16x4h2/9=16x4a(a-2x)/9=8ax4(2a-4x)/9 になります。

 f(x)=16a(ax4-2x5)/9 として微分すると x=2a/5 のとき最大であることが分かりますが、

 相加・相乗平均の関係を使い、5√{x4(2a-4x)}≦{x+x+x+x+(2a-4x)}/5 、

 5√{x4(2a-4x)}≦2a/5 、x4(2a-4x)≦25a5/55

 よって、V2≦8・25a6/(9・55) 、V≦16a3/(75√5) です。

 等号が成り立つのは、x=2a-4x すなわち x=2a/5 のとき、

 底面は 4x2=16a2/25 、側面1枚は 2x(a-x)/2=x(a-x)=6a2/25 、

 切り取られた二等辺三角形1枚は a2/2-6a2/25-(16a2/25)/4=a2/10=89/10 だから、a2=89 です。

 表面積は、16a2/25+4・6a2/25=8a2/5=712/5=142.4 、

 体積は 16a3/(75√5)=(16・89√89)/(75√5)=(1424√445)/375 です。


 なお、表面積をS ,内接球の半径をr とすれば、

 rは3辺が 3x/5,3x/5 ,4x/5 である三角形の内接円の半径と等しく、ar=2ah/5 、r=2h/5 です。

 Sr/3=V だから、S=3V/r=3(4x2h/3)/(2h/5)=10x2=10(2a/5)2=8a2/5 です。

 a2 は、2a2-S=4・89/10 として求められます。

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Comments 4

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ヤドカリ
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Re: タイトルなし

20/08/24 10:35:37 の非公開コメントの方へ

> a,xは同じ設定。切除2等辺三角形の高さは、a/√2-x*√2=(a-2x)/√2,底辺はa*√2 面積が89/10より、1/2* a*√2*(a-2x)/√2= a^2-2ax=89/5 aとxは関数関係にある。3行目の微分はaを定数扱いでの微分なので、間違いでは?
> また、a^2-2ax=89/5より、h^2=89/5 で高さはいつも一定になり、この問題は成立しないのでは?

この問題は成立しています。
最初は a の値は分かりませんが、a を固定し、対角線の長さが 2a である正方形から
辺を底辺とする二等辺三角形4個を切り取り正四角錐の展開図にするとき、
体積が最大になる場合の 表面積は 8a^2/5 ,体積は 16a^3/(75√5) です。
このとき、二等辺三角形1枚の面積は a^2/10 であり、
この面積の条件から a=√89 であったということです。

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ヤドカリ
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Re: タイトルなし

コメントをありがとうございます。
遅ればせながら、「切り取られた」に変更しました。