[答1425] 式の値

[答1425] 式の値


　log₄cos(π/64)＋log₄cos(2π/64)＋log₄cos(3π/64)＋……＋log₄cos(31π/64)＝？


[解答1]

　L(a)＝log₄cos{π/(2a)}＋log₄cos{2π/(2a)}＋log₄cos{3π/(2a)}＋……＋log₄cos{(a－1)π/(2a)} とします。

　log₄cos{kπ/(2a)}＋log₄cos{(a－k)π/(2a)}＝log₄cos{(a－k)π/(2a)}cos{kπ/(2a)}

　 ＝log₄(1/2)〔cos(π/2)＋cos{(a－2k)π/(2a)}〕＝－1/2＋log₄cos{(a/2－k)π/a} 、

　log₄cos{kπ/(2a)}＋log₄cos{(a－k)π/(2a)}＝－1/2＋log₄cos{(a/2－k)π/a} になり、

　k＝1，2，3，……，a/2－1 として加えると、

　L(a)－log₄cos{(a/2)π/(2a)}＝－(a/2－1)/2＋L(a/2) 、

　L(a)＝log₄cos(π/4)－a/4＋1/2＋L(a/2)＝－a/4＋1/4＋L(a/2) です。

　与式＝L(32)＝－8＋1/4＋L(16)＝－8－4＋2/4＋L(8)＝－8－4－2＋3/4＋L(4)

　 ＝－8－4－2－1＋4/4＋L(2)＝－8－4－2－1＋4/4＋log₄cos(π/4)

　 ＝－8－4－2－1＋3/4＝－57/4＝－14．25 です。

　ちなみに、L(2ⁿ)＝－2^n-1＋(n＋2)/4 です。


[解答2]

　L(a)＝log₄cos{π/(2a)}＋log₄cos{2π/(2a)}＋log₄cos{3π/(2a)}＋……＋log₄cos{(a－1)π/(2a)} とすれば、

　cos{kπ/(2a)}＝sin{(a－k)π/(2a)} だから、

　L(a)＝log₄sin{π/(2a)}＋log₄sin{2π/(2a)}＋log₄sin{3π/(2a)}＋……＋log₄sin{(a－1)π/(2a)} です。

　log₄sin{kπ/(2a)}＋log₄cos{kπ/(2a)}＝log₄sin{kπ/(2a)}cos{kπ/(2a)}＝log₄(1/2)sin(kπ/a)

　 ＝－1/2＋log₄sin(kπ/a) だから、

　2L(a)＝－(a－1)/2＋log₄sin{π/a}＋log₄sin{2π/a}＋log₄sin{3π/a}＋……＋log₄sin{(a－1)π/a}

　sin{kπ/a}＝sin{(a－k)π/a} だから、

　2L(a)＝－(a－1)/2＋L(a/2)＋log₄sin(π/2)＋L(a/2) 、

　L(a)＝－a/4＋1/4＋L(a/2) です。

　与式＝L(32)＝－8＋1/4＋L(16)＝－8－4＋2/4＋L(8)＝－8－4－2＋3/4＋L(4)

　 ＝－8－4－2－1＋4/4＋L(2)＝－8－4－2－1＋4/4＋log₄cos(π/4)

　 ＝－8－4－2－1＋3/4＝－57/4＝－14．25 です。

　ちなみに、L(2ⁿ)＝－2^n-1＋(n＋2)/4 です。

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