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[答1425] 式の値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1425] 式の値


 log4cos(π/64)+log4cos(2π/64)+log4cos(3π/64)+……+log4cos(31π/64)=?


[解答1]

 L(a)=log4cos{π/(2a)}+log4cos{2π/(2a)}+log4cos{3π/(2a)}+……+log4cos{(a-1)π/(2a)} とします。

 log4cos{kπ/(2a)}+log4cos{(a-k)π/(2a)}=log4cos{(a-k)π/(2a)}cos{kπ/(2a)}

  =log4(1/2)〔cos(π/2)+cos{(a-2k)π/(2a)}〕=-1/2+log4cos{(a/2-k)π/a} 、

 log4cos{kπ/(2a)}+log4cos{(a-k)π/(2a)}=-1/2+log4cos{(a/2-k)π/a} になり、

 k=1,2,3,……,a/2-1 として加えると、

 L(a)-log4cos{(a/2)π/(2a)}=-(a/2-1)/2+L(a/2) 、

 L(a)=log4cos(π/4)-a/4+1/2+L(a/2)=-a/4+1/4+L(a/2) です。

 与式=L(32)=-8+1/4+L(16)=-8-4+2/4+L(8)=-8-4-2+3/4+L(4)

  =-8-4-2-1+4/4+L(2)=-8-4-2-1+4/4+log4cos(π/4)

  =-8-4-2-1+3/4=-57/4=-14.25 です。

 ちなみに、L(2n)=-2n-1+(n+2)/4 です。


[解答2]

 L(a)=log4cos{π/(2a)}+log4cos{2π/(2a)}+log4cos{3π/(2a)}+……+log4cos{(a-1)π/(2a)} とすれば、

 cos{kπ/(2a)}=sin{(a-k)π/(2a)} だから、

 L(a)=log4sin{π/(2a)}+log4sin{2π/(2a)}+log4sin{3π/(2a)}+……+log4sin{(a-1)π/(2a)} です。

 log4sin{kπ/(2a)}+log4cos{kπ/(2a)}=log4sin{kπ/(2a)}cos{kπ/(2a)}=log4(1/2)sin(kπ/a)

  =-1/2+log4sin(kπ/a) だから、

 2L(a)=-(a-1)/2+log4sin{π/a}+log4sin{2π/a}+log4sin{3π/a}+……+log4sin{(a-1)π/a}

 sin{kπ/a}=sin{(a-k)π/a} だから、

 2L(a)=-(a-1)/2+L(a/2)+log4sin(π/2)+L(a/2) 、

 L(a)=-a/4+1/4+L(a/2) です。

 与式=L(32)=-8+1/4+L(16)=-8-4+2/4+L(8)=-8-4-2+3/4+L(4)

  =-8-4-2-1+4/4+L(2)=-8-4-2-1+4/4+log4cos(π/4)

  =-8-4-2-1+3/4=-57/4=-14.25 です。

 ちなみに、L(2n)=-2n-1+(n+2)/4 です。

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