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[答1426] 長方形内の四角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1426] 長方形内の四角形の面積


 図のように、面積が2914の長方形ABCDがあり、辺AB,BC,CD,DA上に点P,Q,R,Sがあります。

    1426-長方形内四角形

 SA:AP:PB:BQ=4:1:3:5 ,∠SPQ=∠QRS ,△PQS:△QRS=85:99 のとき、

 四角形PQRSの面積は?


[解答1]

 SA=4k ,AP=k ,PB=3k ,BQ=5k ,CQ=ck ,DR=dk とすれば、CR=4k-dk ,DS=ck+k です。

 △PQS={(AS+BQ)・AB-AS・AP-BQ・BP}/2={(4k+5k)・4k-4k・k-5k・3k}/2=17k2/2 、

 △QRS={(DS+CQ)・DC-DS・DR-CQ・CR}/2={(ck+k+ck)・4k-(ck+k)・dk-ck・(4k-dk)}/2

  =(4c-d+4)k2/2 、

 △PQS:△QRS=17:(4c-d+4)=85:99 ですので、4c-d+4=99/5 、c=d/4+79/20 です。

 tan(∠SPA+∠QPB)=(tan∠SPA+tan∠QPB)/(1-tan∠SPAtan∠QPB)=(4+5/3)/(1-4・5/3)=-1 、

 ∠QRC+∠SRD=∠SPA+∠QPB だから、tan(∠QRC+∠SRD)=-1 、

 tan(∠QRC+∠SRD)=(tan∠QRC+tan∠SRD)/(1-tan∠QRCtan∠SRD)=-1 、

 tan∠QRC+tan∠SRD=-1+tan∠QRCtan∠SRD 、c/(4-d)+(c+1)/d=-1+{c/(4-d)}{(c+1)/d} 、

 cd+(c+1)(4-d)=-d(4-d)+c(c+1) 、4c-d+4=c2+d2+c-4d 、c2+d2-3c-3d=4 、

 c=d/4+79/20 を代入して、(d/4+79/20)2+d2-3(d/4+79/20)-3d=4 、

 (5d+79)2+202d2-20・3(5d+79)-202・3d=202・4 、425d2-710d-99=0 、(5d-9)(85d+11)=0 、

 d=9/5 、c=d/4+79/20=22/5 です。

 BC=BQ+QC=5k+ck=47k/5 ですので、長方形ABCD=4k・47k/5=188k2/5 になり、

 △PQS/長方形ABCD=(17k2/2)/(188k2/5)=85/376 、

 四角形PQRS/△PQS=(85+99)/85=184/85 、よって、四角形PQRS/長方形ABCD=184/376=23/47 、

 四角形PQRS/2914=23/47 、四角形PQRS=2914・23/47=1426 です。


[解答2]

 SA=8k ,AP=2k ,PB=6k ,BQ=10k とします。

 座標平面上で、S(-k,4k),Q(k,-4k),A(-9k,4k),B(-9k,-4k),P(-9k,2k) とし、

 SQの中点は(0,0) で、Pの原点に関して対称な点をP' とすれば、P'(9k,-2k) です。

 SQの傾きは -4 ,QP'の傾きは 1/4 、よって、∠SQP'=90゚ です。

 SP'の中点をMとすれば M(4k,k) で、MS2=(5k)2+(3k)2=34k2 だから、

 △SQPの外接円は (x-4k)2+(y-k)2=34k2 で、この円周上にRがあります。

 また、SQに平行でP'を通る直線は y+2k=-4(x-9k) 、y=-4x+34k ですので、

 SQに平行でRを通る直線は y=-4x+34k・(99/85) 、y=-4x+198k/5 です。

 よって、Rは y=-4x+198k/5 ,(x-4k)2+(y-k)2=34k2 の交点です。

 代入し、(x-4k)2+(-4x+198k/5-k)2=34k2 、(5x-20k)2+(-20x+198k-5k)2=25・34k2

 425x2-7920kx+36799k2=0 、(5x-49k)(85x-751k)=0 、x=49k/5,751k/85 、

 Rのx座標は P'のx座標である 9k より大きいので、R(49k/5,2k/5) です。

 よって、AD=94k/5 ,AB=8k 、長方形ABCD=752k2/5=2914 、k2=155/8 です。

 SP=SQ=k√68 だから、△SPQ=34k2

 四角形PQRS=(184/85)△SPQ=184・34k2/85=184・2k2/5=184・2・155/8/5=1426 です。

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