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[答1427] 半円に内接する四角形

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1427] 半円に内接する四角形


 四角形ABCDの頂点 A,B は、CDを直径とする半円の円弧上あり、CD=77,DA=66 です。
1427-半円と四角形
 AB,BC の長さが自然数で、AB<BC のとき、(AB,BC)=?


[解答1]

 トレミーに定理により、AC・BD=AB・CD+BC・DA=77AB+66BC 、

 三平方の定理より、AC2=CD2-DA2=772-662 ,BD2=CD2-BC2=772-BC2 ですので、

 (77AB+66BC)2=(772-662)(772-BC2) 、(7AB+6BC)2=(72-62)(772-BC2) 、

 49AB2+84AB・BC+36BC2=13・772-13BC2 、AB2+12AB・BC/7+BC2=13・112

 AB,BC の何れかが7の倍数ですので、7の倍数である方を 7x ,他方を y とすれば、

 49x2+12xy+y2=13・112 、(6x+y)2=13(112-x2) 、(6x+y)2=13(11+x)(11-x) は平方数、

 よって、(11+x)(11-x) は 13の倍数です。

 0<11-x<11 は 13と互いに素だから、11+x は 13の倍数、

 また、0<x<11 より 11<11+x<22 、従って、11+x=13 、x=2 です。

 (6x+y)2=13(11+x)(11-x)=13・13・9 、6x+y=13・3 、12+y=39 、y=27 です。

 7x=14 ,y=27 で、AB<BC だから、(AB,BC)=(14,27) です。


[解答2]

 ∠CAD=90゚ だから、cos∠D=66/77=6/7 、cos∠B=-cos∠D=-6/7 です。

 AC2=AB2+BC2-2AB・BCcos∠B=CD2-DA2 、AB2+BC2+(12/7)AB・BC=772-662

 7AB2+7BC2+12AB・BC=11011 、6(AB+BC)2+AB2+BC2=11011 ,7(AB+BC)2-2AB・BC=11011 、

 よって、AB+BC は奇数で、11011/7<(AB+BC)2<11011/6 、1574≦(AB+BC)2≦1835 、

 392=1521 ,412=1681 ,432=1849 より、AB+BC=41 で、7・412-2AB・BC=11011 、AB・BC=378 、

 AB,BC は x2-41x+378=0 の解、解は x=14,27 で、AB<BC だから、AB=14 ,BC=27 です。

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