[答1427] 半円に内接する四角形

[答1427] 半円に内接する四角形


　四角形ABCDの頂点 A，B は、CDを直径とする半円の円弧上にあり、CD＝77，DA＝66 です。

　AB，BC の長さが自然数で、AB＜BC のとき、(AB，BC)＝？


[解答1]

　トレミーに定理により、AC･BD＝AB･CD＋BC･DA＝77AB＋66BC 、

　三平方の定理より、AC²＝CD²－DA²＝77²－66² ，BD²＝CD²－BC²＝77²－BC² ですので、

　(77AB＋66BC)²＝(77²－66²)(77²－BC²) 、(7AB＋6BC)²＝(7²－6²)(77²－BC²) 、

　49AB²＋84AB･BC＋36BC²＝13･77²－13BC² 、AB²＋12AB･BC/7＋BC²＝13･11² 、

　AB，BC の何れかが７の倍数ですので、７の倍数である方を 7x ，他方を y とすれば、

　49x²＋12xy＋y²＝13･11² 、(6x＋y)²＝13(11²－x²) 、(6x＋y)²＝13(11＋x)(11－x) は平方数、

　よって、(11＋x)(11－x) は 13の倍数です。

　0＜11－x＜11 は 13と互いに素だから、11＋x は 13の倍数、

　また、0＜x＜11 より 11＜11＋x＜22 、従って、11＋x＝13 、x＝2 です。

　(6x＋y)²＝13(11＋x)(11－x)＝13･13･9 、6x＋y＝13･3 、12＋y＝39 、y＝27 です。

　7x＝14 ，y＝27 で、AB＜BC だから、(AB，BC)＝(14，27) です。


[解答2]

　∠CAD＝90ﾟ だから、cos∠D＝66/77＝6/7 、cos∠B＝－cos∠D＝－6/7 です。

　AC²＝AB²＋BC²－2AB･BCcos∠B＝CD²－DA² 、AB²＋BC²＋(12/7)AB･BC＝77²－66² 、

　7AB²＋7BC²＋12AB･BC＝11011 、6(AB＋BC)²＋AB²＋BC²＝11011 ，7(AB＋BC)²－2AB･BC＝11011 、

　よって、AB＋BC は奇数で、11011/7＜(AB＋BC)²＜11011/6 、1574≦(AB＋BC)²≦1835 、

　39²＝1521 ，41²＝1681 ，43²＝1849 より、AB＋BC＝41 で、7･41²－2AB･BC＝11011 、AB･BC＝378 、

　AB，BC は x²－41x＋378＝0 の解、解は x＝14，27 で、AB＜BC だから、AB＝14 ，BC＝27 です。

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