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[答1428] 三角形の面積比

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1428] 三角形の面積比


 BC=10,CA=7,AB=9 の△ABCがあり、BD=8 を満たす点Dを 辺BC上にとり、

 ∠BAD=∠DCE を満たす点Eを線分AD上にとり、BEの延長と辺CAの交点をFとします。
1428-三角形面積比0
 このとき、三角形の面積比 △ABD:△AEF=? なお、図は不正確です。


[解答]

 CEの延長と辺ABの交点をPとすれば、∠PAD=∠PCD だから、A,P,C,Dは同一円周上にあります。
  1428-三角形面積比
 方べきの定理より、BA・BP=BC・BD 、9・BP=10・8 、BP=80/9 、AP=AB-BP=9-80/9=1/9 、

 BP/PA=80 です。

 メネラウスの定理より、(DC/CB)(BP/PA)(AE/ED)=1 、(2/10)・80(AE/ED)=1 、AE/ED=1/16 であり、

 チェバの定理より、(CD/DB)(BP/PA)(AF/FC)=1 、(2/8)・80(AF/FC)=1 、AF/FC=1/20 だから、

 △AEF/△ADC=(AE/ED)(AF/AC)=(1/17)(1/21)=1/357 です。

 また、△ABD/△ADC=BD/DC=8/2=4 ですので、

 △ABD:△AEF=△ABD/△ADC:△AEF/△ADC=4:1/357=1428:1 です。

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