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[答1429] 自然数に近い平方根

ヤドカリ

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[答1429] 自然数に近い平方根


 √50=7.0710678…… のように、

 最も近い自然数との差が 1/14 未満のとき「自然数に近い数」ということにすると、

 10000未満の自然数Nのうち、√N が「自然数に近い数」であるものの個数は?

 なお、自然数自体も「自然数に近い数」ということにします。


[解答]

 √N に最も近い自然数を k とすれば、1≦k≦100 で、

 k-1/14<√N<k+1/14 だから、k2-k/7+1/196<N<k2+k/7+1/196 、

 [k2-k/7]+1≦N≦[k2+k/7] 、[k2-k/7]+1≦N≦k2+[k/7] で、

 kが7の倍数のとき [k2-k/7]=k2-[k/7] 、これを満たす自然数Nは 2[k/7] 個 、

 kが7の倍数でないとき [k2-k/7]=k2-[k/7]-1 、これを満たす自然数Nは 2[k/7]+1 個 です。

 kを7で割った余りをrとすれば、2[k/7]=2(k/7-r/7) であり、

 Σを k=1 から k=100 のときの和として、

 Σk/7=5050/7 ,Σr/7={(1+2+3+4+5+6+0)/7}・14+1/7+2/7=297/7 だから、

 Σ2[k/7]=Σ2(k/7-r/7)=2(5050/7-297/7)=1358 、

 k=1 から k=100 で 7の倍数以外が 100-14=86個あり、

 (100+1/14)2=10000+100/7+1/196=10014+2/7+1/196 なので N=10000 から N=10014 の場合を

 含めていますので、1358+86-15=1429 個です。

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