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[答1431] 漸化式で表された数列

ヤドカリ

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[答1431] 漸化式で表された数列


 すべての項の値が整数である数列{an}(n=1,2,3,……) があって、

 任意の自然数 m,n について、an+an+1=n2 ,m<n のとき am≦an が成り立ちます。

 この数列の第54項 a54=?


[解答1]

 an+an+1=n2 ,an≦an+1 より an≦n2/2 ですので、

 a1=1-a2≦1/2 、1/2≦a2 で、a2≦4/2 より a2=1,2 です。

 ak+1+ak+2=(k+1)2 ,ak+ak+1=k2 を辺々減じて、ak+2-ak=2k+1 です。

 k=2,4,6,……,2(n-1) として加えれば、

 a2n-a2=5+9+13+……+(4n-3)=(5+4n-3)(n-1)/2=2n2-n-1 、

 a2n=2n2-n-1+a2≦2n2-n+1≦(2n)2/2 であり、

 a2n+1=(2n)2-a2n=2n2+n+1-a2=2n2+n+a1≦2n2+n+1/2≦(2n+1)2/2 だから、

 常に an≦n2/2 であり、an≦an+1 、m<n のとき am≦an が成り立ちます。

 a54=2・272-27-1+a2=1430+a2=1431,1432 です。


[解答2]

 an+an+1=n2=(n-1)n/2+n(n+1)/2 だから、

 an=(n-1)n/2+bn とおけば、an+1=n(n+1)/2+bn+1

 (n-1)n/2+bn+n(n+1)/2+bn+1=n2 、bn+1=-bn

 数列{bn}は 公比が -1 の等比数列です。初項を -b とすれば、

 bn=b(-1)n 、an=(n-1)n/2+b(-1)n です。

 an+an+1=n2 ,an≦an+1 より、2an≦n2 であればよいので、

 (n-1)n+2b(-1)n≦n2 、2b(-1)n≦n 、

 nが奇数のとき 2b≧-n ,nが偶数のとき 2b≦n だから、b=0,1 、

 a54=(54-1)・54/2+b(-1)54=1431+b=1431,1432 です。

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