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[答1432] 3元連立方程式

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1432] 3元連立方程式


 次の(1)(2)(3)の式をすべて満たし、x>0 である(x,y,z)=?

 y2+2yz+4z2=37 ……(1) ,4z2+2zx+x2=13 ……(2) ,x2+xy+y2=21 ……(3)


[解答1]

 (1)-(3) より y2+2yz+4z2-x2-xy-y2=16 、(2z-x)(2z+x+y)=16 ……(4)

 (2)-(3) より 4z2+2zx+x2-x2-xy-y2=-8 、(2z-y)(2z+x+y)=-8 ……(5)

 (4)+(5)×2 より (6z-x-2y)(2z+x+y)=0 、2z+x+y≠0 だから、6z-x-2y=0 、x=6z-2y 、

 (5)に代入して (2z-y)(2z+6z-2y+y)=-8 、y2-10yz+16z2=-8 ……(6)

 (1)×8+(6)×37 より 45y2-354yz+624z2=0 、15y2-118yz+208z2=0 、(3y-8z)(5y-26z)=0 、

 3y=8z または 5y=26z 、y/8=z/3 または y/26=z/5 であり、x=6z-2y だから、

 (x,y,z)=(2k,8k,3k) または (x,y,z)=(-22k,26k,5k) と表されます。

 (x,y,z)=(2k,8k,3k) のとき k>0 で (3)より 84k2=21 、k=1/2 、

 (x,y,z)=(-22k,26k,5k) のとき k<0 で (3)より 588k2=21 、k=-1/(2√7) 、

 (x,y,z)=(1,4,3/2),(11/√7,-13/√7,-5/(2√7)) です。


[解答2]

 (1)×(y-2z)+(2)×(2z-x)+(3)×(x-y) を計算して、

 y3-8z3+8z3-x3+x3-y3=37y-74z+26z-13x+21x-21y 、-8x=16y-48z 、

 x=-2y+6z ……(4) です。

 (1)×13-(2)×37 を計算して、13y2+26yz+52z2-148z2-74zx-37x2=0 、

 (4)を代入して、13y2+26yz+52z2-148z2-74z(-2y+6z)-37(-2y+6z)2=0 、

 13y2+26yz-96z2+148yz-444z2-148y2+888yz-1332z2=0 、-135y2+1062yz-1872z2=0 、

 15y2-118yz+208z2=0 、(3y-8z)(5y-26z)=0 、

 3y=8z または 5y=26z 、y/8=z/3 または y/26=z/5 であり、x=6z-2y だから、

 (x,y,z)=(2k,8k,3k) または (x,y,z)=(-22k,26k,5k) と表されます。

 (x,y,z)=(2k,8k,3k) のとき k>0 で (3)より 84k2=21 、k=1/2 、

 (x,y,z)=(-22k,26k,5k) のとき k<0 で (3)より 588k2=21 、k=-1/(2√7) 、

 (x,y,z)=(1,4,3/2),(11/√7,-13/√7,-5/(2√7)) です。


[解答3]

 (1)-(3) より y2+2yz+4z2-x2-xy-y2=16 、(2z-x)(2z+x+y)=16 、

 (2)-(3) より 4z2+2zx+x2-x2-xy-y2=-8 、(2z-y)(2z+x+y)=-8 、

 2z+x+y≠0 だから、2z+x+y=8/k とおけば、2z-x=2k ,2z-y=-k となって、辺々加えて、

 6z=k+8/k になり、y-x=3k ,3x=6z-6k=-5k+8/k ,3y=6z+3k=4k+8/k になり、

 (3)より (y-x)2+3xy=21 、3(y-x)2+(3x)(3y)=21・3 、3(3k)2+(-5k+8/k)(4k+8/k)=21・3 、

 7k2-71+64/k2=0 、(k2-1)(7-64/k2)=0 、k2=1,64/7 、

 ここで、3x=(8-5k2)/k>0 だから、kの符号は 8-5k2 と同じで、k=1,-8/√7 、

 (3x,3y,6z)=(-5k+8/k,4k+8/k,k+8/k)=(3,12,9),(33/√7,-39/√7,-15/√7) 、

 (x,y,z)=(1,4,3/2),(11/√7,-13/√7,-5/(2√7)) です。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンアーベント ^^

これは...かなり難儀な計算をして(代入式の整理はPCにお願い...)しまいましたが...
[解答3]は狐につままれたように巧く行くものですねぇ♪
思いつけたら、計算量がかなり節約でみましたものを...^^;;

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
計算が難しい問題もありますが、
手計算でできるよう工夫して作問しています。