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[答1433] 等脚台形と外接円

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1433] 等脚台形と外接円


 AB=BC=CD である等脚台形ABCDにおいて、外接円の中心をO,ADの中点をM,BCの中点をN とします。

1433-等脚台形0
 AD:BC=52:33 のとき MO:ON=? また、MO:ON=52:33 のとき AD:BC=?

 ただし、外接円の中心Oは 等脚台形ABCDの内部にあるものとします。


[解答1]

 AM=a ,BN=b ,MO=m ,ON=n ,∠BON=θ とすれば、∠AOM=π-3θ です。

 a:b=sin∠AOM:sin∠BON=sin(π-3θ):sinθ=sin3θ:sinθ=(3sinθ-4sin3θ):sinθ 、

 a/b=3-4sin2θ です。

 m:n=cos∠AOM:cos∠BON:=cos(π-3θ):cosθ=-cos3θ:cosθ=(3cosθ-4cos3θ):cosθ 、

 m/n=3-4cos2θ です。

 よって、a/b+m/n=3-4sin2θ+3-4cos2θ=6-4=2 、AD/BC+MO/ON=2 になります。

 AD:BC=52:33 のとき 52/33+MO/ON=2 、MO/ON=14/33 、MO:ON=14:33 、

 MO:ON=52:33 のとき AD/BC+52/33=2 、AD/BC=14/33 、AD:BC=14:33 です。


[解答2]

 π/6<arg(z)<π/3 ,Re(z)=p ,Im(z)=q とすれば、p>0,q>0 ,z=p+qi であり、

 複素平面上で、O(0),N(Re(z)),C(z) とすれば、D(z3/|z|2) です。

 z3=p3+3p2qi-3pq2-q3i=-p(3q2-p2)+q(3p2-q2)i ,|z|2=p2+q2 だから、

 AD/BC=MD/NC=Im(z3/|z|2)/Im(z)={q(3p2-q2)/(p2+q2)}/q=(3p2-q2)/(p2+q2) ,

 MO/ON=-Re(z3/|z|2)/Re(z)={p(3q2-p2)/(p2+q2)}/p=(3q2-p2)/(p2+q2) です。

 よって、AD/BC+MO/ON=(3p2-q2)/(p2+q2)+(3q2-p2)/(p2+q2)=2 になり、

 AD:BC=52:33 のとき 52/33+MO/ON=2 、MO/ON=14/33 、MO:ON=14:33 、

 MO:ON=52:33 のとき AD/BC+52/33=2 、AD/BC=14/33 、AD:BC=14:33 です。

1433-等脚台形
[解答3]

 BOの延長とADまたはADの延長との交点をPとします。

 ∠APO=∠OBC=∠OBA すなわち ∠APB=∠ABP だから、AP=AB 、AM+MP=BC です。

 また、△ONB∽△OMP だから、OM:ON=MP:NB になり、

 MO/ON=MP/NB=(BC-AM)/NB=BC/NB-AM/NB=2-AD/BC 、AD/BC+MO/ON=2 です。

 AD:BC=52:33 のとき 52/33+MO/ON=2 、MO/ON=14/33 、MO:ON=14:33 、

 MO:ON=52:33 のとき AD/BC+52/33=2 、AD/BC=14/33 、AD:BC=14:33 です。


[参考]

 △OBN(△OCN)6枚を並べて五角形OABCDを作り、△OADを △OAMと△ODMに等分します。

 三角形6枚の並べ方は2通りありますが、2つの図を見比べると、

 MO:ON と AM:BN が逆になることが分かります。

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Comments 2

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンアーベント ^^

[解答3]の算数解法にまったく気づけず ^^;;
計算がほとんどなくなりますね♪
解いた後に[参考]に気づけましたけど...
まさに後の祭りかな...

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
[解答3]の算数解法が気に入っていますが、この解答はありませんでした。
AD/BC+MO/ON=2 ですので、MO:ON と AM:BN が逆になるのは当然ですが、
面白い性質だと思います。