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[答1434] 最大値とそのときの(x,y)

ヤドカリ

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[答1434] 最大値とそのときの(x,y)


 正の数 x,y が (x+y)2=(3y-x)√x を満たすとき、x+y の最大値は?

 また、x+y が最大になるとき (x,y)=?


[解答1]

 x+y=k とおけば、k>0 ,k2=(3k-4x)√x であり、3k-4x>0 ,k4=(3k-4x)2x です。

 kを固定し、f(x)=(3k-4x)2x (0<x<3k/4) とおけば、

 f'(x)=-8(3k-4x)x+(3k-4x)2=(3k-4x)(3k-12x) だから、

 最大値は f(k/4)=k3 だから、k4=(3k-4x)2x≦k3 、k≦1 です。

 ここで、k=1 のとき、x=k/4 ,y=k-x=3k/4 ですので、

 (x,y)=(1/4,3/4) のとき 最大値 1 になります。


[解答2]

 x+y=k とおけば、k>0 ,k2=(3k-4x)√x であり、3k-4x>0 ,k4=(3k-4x)2x です。

 相加・相乗平均の関係により、3√{(3k-4x)2・8x}≦{(3k-4x)+(3k-4x)+8x}/3 ですので、

 (3k-4x)2・8x≦(2k)3 、(3k-4x)2x≦k3 、k4≦k3 、k≦1 です。

 ここで、k=1 のとき、k4=k3 、(3k-4x)2x=k3 になるのは、3k-4x=8x のときだから、

 x=k/4 ,y=k-x=3k/4 ですので、

 (x,y)=(1/4,3/4) のとき 最大値 1 になります。


[解答3]

 R>0 ,0<θ<π/2 として、√x=Rcosθ ,√y=Rsinθ とおけば、

 x=R2cos2θ ,R2sin2θ 、x+y=R2 です。

 (x+y)2=(3y-x)√x より、R4=(3R2sin2θ-R2cos2θ)Rcosθ 、

 R=(3sin2θ-cos2θ)cosθ={3(1-cos2θ)-cos2θ}cosθ=3cosθ-4cos3θ=-cos3θ 、

 x+y=R2=cos23θ=(1+cos6θ)/2 ,0<6θ<3π だから、

 θ=π/3 のとき 最大値は 1 です。

 R2=1 ,θ=π/3 だから、(x,y)=(R2cos2θ,R2sin2θ)=(1/4,3/4) です。

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