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[答1435] 5次式の式の値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1435] 5次式の式の値


 f(x) は xの5次式で、次の条件を満たすとき、f(10)=?

 f(x)+14=0 は x=-2 を3重解としてもち、f(x)-14=0 は x=2 を3重解としてもつ


[解答1]

 A(x),B(x) を xの2次式として、f(x)=(x+2)3A(x)-14=(x-2)3B(x)+14 とおけます。

 (x3+12x)A(x)+(6x2+8)A(x)-14=(x3+12x)B(x)-(6x2+8)B(x)+14 、

 (x3+12x){A(x)-B(x)}+(6x2+8){A(x)+B(x)}=28 、

 A(x)-B(x)=ax2+bx+c ,A(x)+B(x)=px2+qx+r とおけば、

 (x3+12x)(ax2+bx+c)+(6x2+8)(px2+qx+r)=28 、

 ax5+(b+6p)x4+(12a+c+6q)x3+(12b+8p+6r)x2+(12c+8q)x+8r=28 、

 a=0 ,b=-6p ,q=-3c/2 ,r=7/2 を 12a+c+6q=0 ,12b+8p+6r=0 に代入して、

 c-9c=0 ,-72p+8p+21=0 、よって、c=0 ,p=21/64 ,b=-63/32 ,q=0 になり、

 A(x)-B(x)=-63x/32 ,A(x)+B(x)=21x2/64+7/2 、

 B(x)=21x2/128+63x/64+7/4=7(3x2+18x+32)/128 、B(10)=7(300+180+32)/128=28 、

 f(x)=(x-2)3B(x)+14 、f(10)=83・28+14=14350 です。


[解答2]

 f(x)=(x+2)3(ax2+bx+c)-14=(x-2)3(ax2+dx+e)+14 とおけます。

 f(-x)=-(x-2)3(ax2-bx+c)-14=-(x+2)3(ax2-dx+e)+14 になり、

 f(x)+f(-x)=(x-2)3(bx+dx-c+e)=(x+2)3(bx+dx+c-e) 、

 よって、b+d=0 ,-c+e=0 、d=-b ,e=c であり、

 f(x)=(x+2)3(ax2+bx+c)-14=(x-2)3(ax2-bx+c)+14 、

 (ax2+c){(x+2)3-(x-2)3}+bx{(x+2)3+(x-2)3}=28 、

 (ax2+c)(6x2+8)+bx(x3+12x)=14 、

 x2=X とおけば、(aX+c)(6X+8)+bX(X+12)=14 、

 3個のXについて成り立てば恒等式ですので、X=0,-12,-4/3 を代入し、

 8c=-64(-12a+c)=-128b/9=14 、これを解いて、a=21/128 ,b=-63/64 ,c=7/4 、

 f(x)=(x-2)3(ax2-bx+c)+14=7(x-2)3(3x2-18x+32)/128+14 です。

 従って、f(10)=7・83(300+180+32)/128+14=14350 です。


[解答3]

 f'(x)=0 は x=±2 を2重解としてもつ4次式だから、

 f'(x)=k(x2-4)2 と表せ、f'(x)=k(x4-8x2+16) になり、

 f(x)=k(x5/5-8x3/3+16x)+C と書けます。

 f(-2)=k(-32/5+64/3-32)+C=-256k/15+C=-14 ,

 f(2)=k(32/5-64/3+32)+C=256k/15+C=14 だから、 k=105/128 ,C=0 、

 f(x)=105(x5/5-8x3/3+16x)/128=7x(3x4-40x2+240)/128 、

 f(10)=70(30000-4000+240)/128=14350 です。

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