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[答1437] 2次不等式と和

ヤドカリ

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[答1437] 2次不等式と和


 2次不等式 x(x-4)≦n 満たす最大の整数を an とするとき、 a1+a2+a3+……+a730=?


[解答]

 x(x-4)≦n の解は 2-√(n+4)≦n≦2+√(n+4) だから、an=2+[√(n+4)] です。

 [√(n+4)]=k とおけば、k≦√(n+4)<k+1 、k2≦n+4<(k+1)2 、(k-2)(k+2)≦n<(k-1)(k+3) 、

 よって、an=2+k となるnは (k-1)(k+3)-(k-2)(k+2)=2k+1 個あり、

 その和は (2+k)(2k+1)=2k2+5k+2 です。

 k=2 のとき、(2-2)(2+2)≦n<(2-1)(2+3) 、0≦n<5 、

 k=3 のとき、(3-2)(3+2)≦n<(3-1)(3+3) 、5≦n<12 、

  ………………

 k=26 のとき、(26-2)(26+2)≦n<(26-1)(26+3) 、672≦n<725 、

 k=27 のとき、(27-2)(27+2)≦n<(27-1)(27+3) 、725≦n<780 だから、

 k=2,3,……,26 として 2k2+5k+2 を加えれば、

 a0+a1+a2+……+a724=2・26・27・53/6+5・26・27/2+2・26-9=14200 、

 a1+a2+a3+……+a730=14200-4+29・6=14370 です。

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