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[答133] 長さの逆数の和

ヤドカリ

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[答133] 長さの逆数の和


 楕円 3x2+4y2=12 と、その焦点 F(1,0) を通る直線 y=m(x-1) との

 交点を P,Q とするとき、1/FP+1/FQ=?



[解答1]

 P(p,r) とすると、3p2+4r2=12 より 4r2=12-3p2

 FP2=(p-1)2+r2 だから、

 4FP2=4p2-8p+4+12-3p2=(4-p)2

 p<4 に注意すると、FP=(4-p)/2 、1/FP=2/(4-p) になります。

 同様に、Q のx座標をqとすれば、1/FQ=2/(4-q)、

 1/FP+1/FQ=2(4-p+4-q)/{(4-p)(4-q)}={16-2(p+q)}/{(4-p)(4-q)} になります。

 次に、

 3x2+4y2=12 に y=m(x-1) を代入し、m2=M と表せば、

 3x2+4M(x-1)2=12 、

 (4M+3)x2-8Mx+(4M-12)=0 で、解と係数の関係により、p+q=8M/(4M+3)、

 また、(4M+3)x2-8Mx+(4M-12)=(4M+3)(x-p)(x-q) に

 x=4 を代入して、36M+36=(4M+3)(4-p)(4-q) になります。

 従って、

 1/FP+1/FQ={16(4M+3)-2(4M+3)(p+q)}/{(4M+3)(4-p)(4-q)}

   =(64M+48-2・8M)/(36M+36)=(48M+48)/(36M+36)=4/3 になります。

[参考1]

 この楕円は長半径が2で中心と焦点の距離が1だから、離心率は 1/2 、準線は x=4 です。

 これが分かっていると、FP=PH/2=(4-p)/2 は簡単です。



[解答2] uch*n*anさんのコメントより

 FP=r>0, FP とx軸のなす角度をθ(m=tanθ)とすると,

 x=1+r・cosθ,y=r・sinθ (すなわち P(1+r・cosθ,r・sinθ))とおけて,

 3x2+4y2=12 に代入し,

 3(1+r・cosθ)2+4(r・sinθ)2=12

 (4-cos2θ)r2+6(cosθ)r-9=0

 (2+cosθ)(2-cosθ)r2+6(cosθ)r-9=0

 {(2+cosθ)r-3}{(2-cosθ)r+3}=0

 ここで,(2-cosθ)r+3>0 なので,

 (2+cosθ)r-3=0

 r=3/(2+cosθ)=FP

 1/FP=(2+cosθ)/3

 Q は,θ の代わりに θ+π としたものなので,

 1/FQ=(2+cos(θ+π))/3=(2-cosθ)/3

 1/FP+1/FQ=4/3

[参考2]

 楕円・放物線・双曲線は、焦点を極、軸を始線にとると、

 離心率をε、焦点を通り軸に垂直な弦の長さを 2L として、

 極方程式 r=L/(1+εcosθ) で表されます。

 3x2+4y2=12 と x=1 を連立させて、y=±3/2 、

 よって、L=3/2 、ε=1/2 と併せて、

 r=(3/2)/(1+(1/2)cosθ)、r=3/(2+cosθ) になります。

 1/r=(2+cosθ)/3 だから、

 1/FP+1/FQ=(2+cosθ)/3+(2+cos(θ+π))/3=4/3 です。

.

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Comments 7

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アキチャン  
No title

おはようございます。
あじさい・・・なんとも優しく撮れてますね (o^-^o)
綺麗な色ですネ♪ ポチ♪

uch*n*an  
No title

FP = r > 0,FP と x 軸のなす角度をθとすると,x = 1 + r * cosθ,y = r * sinθ とおけて,
3(1 + r * cosθ)^2 + 4(r * sinθ)^2 = 12
(4 - (cosθ)^2) * r^2 + 6 * cosθ * r - 9 = 0
(2 + cosθ)(2 - cosθ) * r^2 + 6 * cosθ * r - 9 = 0
((2 + cosθ) * r - 3)((2 - cosθ) * r + 3) = 0
ここで,(2 - cosθ) * r + 3 > 0 なので,
(2 + cosθ) * r - 3 = 0
r = 3/(2 + cosθ) = FP
1/FP = (2 + cosθ)/3
Q は,θ -> θ+π としたものなので,
1/FQ = (2 + cos(θ+π))/3 = (2 - cosθ)/3
1/FP + 1/FQ = 4/3

uch*n*an  
No title

これは,(1,0) を原点とする極座標表示での楕円の方程式に基づく解法ですが,
ただ,そうした背景を知らずとも,単に計算の一手法としても,あり,と思うのですが,
[解答]で紹介なさらなかったのは,何か理由があるのですか?

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
紫陽花はいろんな色があって興味深いです。
雨に濡れていたらもっと風情を感じます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、詳しい解答を有難うございます。
「極座標を使って」というのが、貴殿と再出発さんの解答の鍵コメにありました。
解法として載せる所まで書かれていませんでしたので、その方法での解答を作成し、
2次曲線の極方程式の説明を書こうと思いながら、失念しておりました。
慌てて、貴殿の解答を追加し、極方程式の簡単な説明を加えました。
これからも追加すべきと思われることがありましたらご指摘下さい。

uch*n*an  
No title

あ,掲載ありがとうございます。
何か理由があったのかな?,と思ったのですが,そうでもなかったんですね (^^;

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
理由というか弁解のようなものですが、
[参考]の部分をどのようにまとめようかと迷っているうちに忘れてしまいました。