[答133] 長さの逆数の和
[答133] 長さの逆数の和
楕円 3x2+4y2=12 と、その焦点 F(1,0) を通る直線 y=m(x-1) との
交点を P,Q とするとき、1/FP+1/FQ=?
[解答1]
P(p,r) とすると、3p2+4r2=12 より 4r2=12-3p2、
FP2=(p-1)2+r2 だから、
4FP2=4p2-8p+4+12-3p2=(4-p)2 、
p<4 に注意すると、FP=(4-p)/2 、1/FP=2/(4-p) になります。
同様に、Q のx座標をqとすれば、1/FQ=2/(4-q)、
1/FP+1/FQ=2(4-p+4-q)/{(4-p)(4-q)}={16-2(p+q)}/{(4-p)(4-q)} になります。
次に、
3x2+4y2=12 に y=m(x-1) を代入し、m2=M と表せば、
3x2+4M(x-1)2=12 、
(4M+3)x2-8Mx+(4M-12)=0 で、解と係数の関係により、p+q=8M/(4M+3)、
また、(4M+3)x2-8Mx+(4M-12)=(4M+3)(x-p)(x-q) に
x=4 を代入して、36M+36=(4M+3)(4-p)(4-q) になります。
従って、
1/FP+1/FQ={16(4M+3)-2(4M+3)(p+q)}/{(4M+3)(4-p)(4-q)}
=(64M+48-2・8M)/(36M+36)=(48M+48)/(36M+36)=4/3 になります。
[参考1]
この楕円は長半径が2で中心と焦点の距離が1だから、離心率は 1/2 、準線は x=4 です。
これが分かっていると、FP=PH/2=(4-p)/2 は簡単です。
[解答2] uch*n*anさんのコメントより
FP=r>0, FP とx軸のなす角度をθ(m=tanθ)とすると,
x=1+r・cosθ,y=r・sinθ (すなわち P(1+r・cosθ,r・sinθ))とおけて,
3x2+4y2=12 に代入し,
3(1+r・cosθ)2+4(r・sinθ)2=12
(4-cos2θ)r2+6(cosθ)r-9=0
(2+cosθ)(2-cosθ)r2+6(cosθ)r-9=0
{(2+cosθ)r-3}{(2-cosθ)r+3}=0
ここで,(2-cosθ)r+3>0 なので,
(2+cosθ)r-3=0
r=3/(2+cosθ)=FP
1/FP=(2+cosθ)/3
Q は,θ の代わりに θ+π としたものなので,
1/FQ=(2+cos(θ+π))/3=(2-cosθ)/3
1/FP+1/FQ=4/3
[参考2]
楕円・放物線・双曲線は、焦点を極、軸を始線にとると、
離心率をε、焦点を通り軸に垂直な弦の長さを 2L として、
極方程式 r=L/(1+εcosθ) で表されます。
3x2+4y2=12 と x=1 を連立させて、y=±3/2 、
よって、L=3/2 、ε=1/2 と併せて、
r=(3/2)/(1+(1/2)cosθ)、r=3/(2+cosθ) になります。
1/r=(2+cosθ)/3 だから、
1/FP+1/FQ=(2+cosθ)/3+(2+cos(θ+π))/3=4/3 です。
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