[答133] 長さの逆数の和

[答133] 長さの逆数の和


　楕円 3x²＋4y²＝12 と、その焦点 F(1，0) を通る直線 y＝m(x－1) との

　交点を P,Q とするとき、1/FP＋1/FQ＝？



[解答1]

　P(p，r) とすると、3p²＋4r²＝12 より 4r²＝12－3p²、

　FP²＝(p－1)²＋r² だから、

　4FP²＝4p²－8p＋4＋12－3p²＝(4－p)² 、

　p＜4 に注意すると、FP＝(4－p)/2 、1/FP＝2/(4－p) になります。

　同様に、Q のｘ座標をｑとすれば、1/FQ＝2/(4－q)、

　1/FP＋1/FQ＝2(4－p＋4－q)/{(4－p)(4－q)}＝{16－2(p＋q)}/{(4－p)(4－q)} になります。

　次に、

　3x²＋4y²＝12 に y＝m(x－1) を代入し、m²＝M と表せば、

　3x²＋4M(x－1)²＝12 、

　(4M＋3)x²－8Mx＋(4M－12)＝0 で、解と係数の関係により、p＋q＝8M/(4M＋3)、

　また、(4M＋3)x²－8Mx＋(4M－12)＝(4M＋3)(x－p)(x－q) に

　x＝4 を代入して、36M＋36＝(4M＋3)(4－p)(4－q) になります。

　従って、

　1/FP＋1/FQ＝{16(4M＋3)－2(4M＋3)(p＋q)}/{(4M＋3)(4－p)(4－q)}

　 　＝(64M＋48－2･8M)/(36M＋36)＝(48M＋48)/(36M＋36)＝4/3 になります。

[参考1]

　この楕円は長半径が２で中心と焦点の距離が１だから、離心率は 1/2 、準線は x＝4 です。

　これが分かっていると、FP＝PH/2＝(4－p)/2 は簡単です。



[解答2] uch*n*anさんのコメントより

　FP＝r＞0， FP とｘ軸のなす角度をθ(m＝tanθ)とすると，

　x＝1＋r･cosθ，y＝r･sinθ (すなわち P(1＋r･cosθ，r･sinθ))とおけて，

　3x²＋4y²＝12 に代入し，

　3(1＋r･cosθ)²＋4(r･sinθ)²＝12

　(4－cos²θ)r²＋6(cosθ)r－9＝0

　(2＋cosθ)(2－cosθ)r²＋6(cosθ)r－9＝0

　{(2＋cosθ)r－3}{(2－cosθ)r＋3}＝0

　ここで，(2－cosθ)r＋3＞0 なので，

　(2＋cosθ)r－3＝0

　r＝3/(2＋cosθ)＝FP

　1/FP＝(2＋cosθ)/3

　Q は，θ の代わりに θ＋π としたものなので，

　1/FQ＝(2＋cos(θ＋π))/3＝(2－cosθ)/3

　1/FP＋1/FQ＝4/3

[参考2]

　楕円･放物線･双曲線は、焦点を極、軸を始線にとると、

　離心率をε、焦点を通り軸に垂直な弦の長さを 2L として、

　極方程式 r＝L/(1＋εcosθ) で表されます。

　3x²＋4y²＝12 と x＝1 を連立させて、y＝±3/2 、

　よって、L＝3/2 、ε＝1/2 と併せて、

　r＝(3/2)/(1＋(1/2)cosθ)、r＝3/(2＋cosθ) になります。

　1/r＝(2＋cosθ)/3 だから、

　1/FP＋1/FQ＝(2＋cosθ)/3＋(2＋cos(θ＋π))/3＝4/3 です。

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