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[答1439] 扇形を除いた扇形

ヤドカリ

ヤドカリ

P9210310.jpg



[答1439] 扇形を除いた扇形


 図のような、扇形から同心の扇形を除いた図形があり、除く扇形の半径は 4 です。
1439-扇形0
 この図形の周囲の長さが 7 のとき、面積Sの最大値は?

 また、このときの扇形の中心角θは?


[解答1]

 大きい扇形の半径を r とすれば、

 周囲の長さは、4θ+rθ+2r-8=7 、(r+4)θ=15-2r です。

 2S=r2θ-42θ=(r-4)(r+4)θ=(r-4)(15-2r) 、S=-(r-4)(r-15/2) だから、

 r=(4+15/2)/2=23/4 のとき S は最大になります。

 このとき、S=-(23/4-4)(23/4-15/2)=-(7/4)(-7/4)=49/16 、

 (23/4+4)θ=15-2・23/4 、(23+16)θ=60-46 、θ=14/39 (rad) です。


[解答2]

 大きい扇形の半径を 4+x ,図形のセンターラインの長さを y とすれば、
1439-扇形
 y は2つの弧の長さの平均だから、周囲の長さは 2x+2y=7 、x+y=7/2 です。

 また、S=xy であり、相加・相乗平均の関係より、√(xy)≦(x+y)/2=7/4 ですので、

 S=xy≦49/16 、最大値は 49/16 です。

 等号が成立するのは、x=y のときで、x=y=7/4 のときで、

 θ=y/(4+x/2)=8y/(32+4x)=14/39 (rad) です。

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