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[答1440] 無理式の値が自然数

ヤドカリ

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[答1440] 無理式の値が自然数


 nを自然数とするとき、√(n2+7n+56) が自然数になるとき nの値は?


[解答1]

 √(n2+7n+56)=k とおけば、n2+7n+56=k2 、4n2+28n+224=4k2

 (2n+7)2+175=4k2 ,(2k-2n-7)(2k+2n+7)=175=52・7 、

 (2k-2n-7,2k+2n+7)=(7,25),(5,35),(1,175) 、4n+14=18,30,176 、n=1,4,40 です。

 なお、k=8,10,44 です。


[解答2]

 √(n2+7n+56)>n だから、自然数kを用いて √(n2+7n+56)=n+k と表せます。

 2乗して、n2+7n+56=n2+2kn+k2 、(2k-7)n=56-k2 、n=(56-k2)/(2k-7) になり、

 k≧8 ,3≧k のとき n<0 ですので、k=7,6,5,4 、このkに対して n=1,4,31/3,40 であり、 

 n=1,4,40 に対して、√(n2+7n+56)=8,10,44 です。

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