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[答1441] もとの数と各位の和

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1441] もとの数と各位の和


 自然数nに対して その各位の和を S(n) とします。例えば S(1441)=1+4+4+1=10 です。

 では、n=33・S(n)+1111 を満たすnは?


[解答1]

 nがk桁の自然数とするとき、明らかに k≧4 です。

 また、1≦S(n)≦9k だから、1≦(n-1111)/33≦9k 、33≦n-1111≦297k 、

 1144≦n≦297k+1111 、10k-1/k≦n/k≦297+1111/k になり、

 10k-1/k は単調増加,297+1111/k は単調減少ですので、k≧5 のとき成り立ちません。

 よって、k=4 ,1144≦n≦2299 です。

 nの 千の位をa,百の位をb,十の位をc,一の位をdとすれば、

 n=1000a+100b+10c+d=33(a+b+c+d)+1111 、967a+67b=23c+32d+1111 、

 a=2 ならば 1934≦967a+67b=23c+32d+1111≦1606 で成り立ちませんので、a=1 、

 67b=23c+32d+144 、b≧3 になり、44b+23(b-c)=32d+144 、

 b-c=4k とおけば、k=-1,0,1,2 であり、44b+23・4k=32d+144 、11b+23k=8d+36 、

 11(b-4+5k)=8(d-1+4k) 、b-4+5k=8m ,d-1+4k=11m とおけて、c=b-4k だから、

 b=8m+4-5k ,c=8m+4-9k ,d=11m+1-4k です。

 これら全てが 0以上9以下になるのは、(k,m)=(0,0),(1,1) のときで、

 (a,b,c,d)=(1,4,4,1),(1,7,3,8) 、n=1441,1738 です。


[解答2]

 n=33・S(n)+1111 より、S(n)≡0,3,6 (mod 9) のとき n≡4 (mod 9) ,

 S(n)≡1,4,7 (mod 9) のとき n≡1 (mod 9) ,S(n)≡2,5,8 (mod 9) のとき n≡7 (mod 9) 、

 S(n)≡n (mod 9) なので、適するのは、S(n)≡n≡1 (mod 9) のときだけです。

 S(n)=1+9k とおくと、n=33(1+9k)+1111=1144+297k です。

 S(n)=1+9k より nは(k+1)桁以上、1144+297k≧10k 、k≧1 であれば、1144/k+297≧10k/k 、

 10k/k は単調増加,1144/k+297 は単調減少ですので、k≧4 のとき成り立ちません。

 k=0,1,2,3 に対して、(n,S(n))=(1144,1),(1441,10),(1738,19),(2035,28) 、

 このうち、(n,S(n))の組み合わせとして適切なものは、(1441,10),(1738,19) であり、

 n=1441,1738 です。

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Comments 2

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???  

別解で、kで割る前に、k=0のときを吟味しなくてはならないのでは?

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

???さん、お久しぶりです。コメントをありがとうございます。
ブログへの訪問を続けておられたのですね。
k≧4 でないことを示すだけですので、k=0 を意識していませんでしたが、
厳密にするため、「k≧1 であれば」を挿入しました。