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[答1442] 積どうしの割り算の余りが1

ヤドカリ

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[答1442] 積どうしの割り算の余りが1


 (a+1)(b+1)(c+1) を abc で割った余りが 1 で、a≧b≧c である自然数の組(a,b,c)=?


[解答]

 (a+1)(b+1)(c+1)=abc+bc+ca+ab+a+b+c+1 を abc で割った余りが 1 なので、

 abc≧2 ,a≧2 で、自然数kを用いて、kabc=bc+ca+ab+a+b+c とおくことができ、

 (kc-1)ab-(c+1)a-(c+1)b=c ……(*) です。

 ここで、kc が奇数であれば、右辺の c は奇数、左辺が偶数なので成り立ちません。

 また、k=1/a+1/b+1/c+1/(bc)+1/(ca)+1/(ab) ですので、

 a≧b≧c より k≦3/c+3/c2=3(c+1)/c2 であり、

 k≦1/2+1+1+1/+1/2+1/2=9/2 です。

 結局、kc は偶数で、k≦min{4,3(c+1)/c2} です。

 よって、(c,k)=(1,4),(1,2),(2,2),(2,1) に限られます。

 (c,k)=(1,4) のとき (*)より 3ab-2a-2b=1 、9ab-6a-6b=3 、(3a-2)(3b-2)=7 、

  (3a-2,3b-2)=(7,1) 、(3a,3b)=(9,3) 、(a,b,c)=(3,1,1) です。

 (c,k)=(1,2) のとき (*)より ab-2a-2b=1 、(a-2)(b-2)=5 、(a-2,b-2)=(5,1) 、

  (a,b,c)=(7,3,1) です。

 (c,k)=(2,2) のとき (*)より 3ab-3a-3b=2 、左辺が3の倍数ですので 2になりません。

 (c,k)=(2,1) のとき (*)より ab-3a-3b=2 、(a-3)(b-3)=11 、(a-3,b-3)=(11,1) 、

  (a,b,c)=(14,4,2) です。

 まとめると、(a,b,c)=(3,1,1),(7,3,1),(14,4,2) です。

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