[答1443] 中線と最小角と面積

[答1443] 中線と最小角と面積


　Mが辺BCの中点で AB＝7．69 ，AM＝3 である △ABCのうち、∠BACが最小であるものの面積は？



[解答1]

　余弦定理より、cos∠BAC＝(AB²＋AC²－BC²)/(2AB･AC)＝(AB²＋AC²－4BM²)/(2AB･AC) 、

　中線定理より、AB²＋AC²＝2(AM²＋BM²) 、4BM²＝2AB²＋2AC²－4AM² だから、

　cos∠BAC＝(AB²＋AC²－2AB²－2AC²＋4AM²)/(2AB･AC)＝－(AB²＋AC²－4AM²)/(2AB･AC)

　 ＝－{AC/(2AB)＋(AB²－4AM²)/(2AB･AC)} になります。

　ここで、AC/(2AB)＞0 ，(AB²－4AM²)/(2AB･AC)＞0 なので、相加･相乗平均の関係により、

　AC/(2AB)＋(AB²－4AM²)/(2AB･AC)≧2√{(AB²－4AM²)/(2AB)²}＝{√(AB²－4AM²)}/AB ですので、

　cos∠BAC≦－{√(AB²－4AM²)}/AB 、∠BACが最小のとき、cos∠BAC＝－{√(AB²－4AM²)}/AB 、

　sin∠BAC＝2AM/AB です。

　相加･相乗平均の関係で等号が成り立つのは、AC/(2AB)＝(AB²－4AM²)/(2AB･AC) のときで、

　AC²＝AB²－4AM² 、AC＝√(AB²－4AM²)＝√(7．69²－6²)＝√(13．69･1．69)＝3．7･1．3＝4．81 、

　△ABC＝(1/2)･AB･AC･sin∠BAC＝(1/2)･AB･AC･2AM/AB＝AM･AC＝3･4．81＝14．43 です。


[解答2]


　Mに関して CA と BD が点対称になるように D をとると、△MCA≡△MBD だから △ABC＝△ABD 、

　AC//BD だから、∠BAC＋∠ABD＝180ﾟ 、∠BACが最小になるのは ∠ABDが最大のときです。

　また、AD＝6 であり、Aを中心とする半径6の円を描けば、この円周上にDがあり、

　Bからこの円に接線BDを描けば、∠ABDが最大になり、このとき、∠BAD＝90ﾟ 、

　BD＝√(7．69²－6²)＝√(13．69･1．69)＝3．7･1．3＝4．81 、

　△ABD＝6･4．81/2＝14．43 です。

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