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[答1443] 中線と最小角と面積

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1443] 中線と最小角と面積


 Mが辺BCの中点で AB=7.69 ,AM=3 である △ABCのうち、∠BACが最小であるものの面積は?
1443-中線と最小角


[解答1]

 余弦定理より、cos∠BAC=(AB2+AC2-BC2)/(2AB・AC)=(AB2+AC2-4BM2)/(2AB・AC) 、

 中線定理より、AB2+AC2=2(AM2+BM2) 、4BM2=2AB2+2AC2-4AM2 だから、

 cos∠BAC=(AB2+AC2-2AB2-2AC2+4AM2)/(2AB・AC)=-(AB2+AC2-4AM2)/(2AB・AC)

  =-{AC/(2AB)+(AB2-4AM2)/(2AB・AC)} になります。

 ここで、AC/(2AB)>0 ,(AB2-4AM2)/(2AB・AC)>0 なので、相加・相乗平均の関係により、

 AC/(2AB)+(AB2-4AM2)/(2AB・AC)≧2√{(AB2-4AM2)/(2AB)2}={√(AB2-4AM2)}/AB ですので、

 cos∠BAC≦-{√(AB2-4AM2)}/AB 、∠BACが最小のとき、cos∠BAC=-{√(AB2-4AM2)}/AB 、

 sin∠BAC=2AM/AB です。

 相加・相乗平均の関係で等号が成り立つのは、AC/(2AB)=(AB2-4AM2)/(2AB・AC) のときで、

 AC2=AB2-4AM2 、AC=√(AB2-4AM2)=√(7.692-62)=√(13.69・1.69)=3.7・1.3=4.81 、

 △ABC=(1/2)・AB・AC・sin∠BAC=(1/2)・AB・AC・2AM/AB=AM・AC=3・4.81=14.43 です。


[解答2]

1443-中線と最小角
 Mに関して CA と BD が点対称になるように D をとると、△MCA≡△MBD だから △ABC=△ABD 、

 AC//BD だから、∠BAC+∠ABD=180゚ 、∠BACが最小になるのは ∠ABDが最大のときです。

 また、AD=6 であり、Aを中心とする半径6の円を描けば、この円周上にDがあり、

 Bからこの円に接線BDを描けば、∠ABDが最大になり、このとき、∠BAD=90゚ 、

 BD=√(7.692-62)=√(13.69・1.69)=3.7・1.3=4.81 、

 △ABD=6・4.81/2=14.43 です。

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Comments 2

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンモルゲン ^^

[解答2]
Aha!!
そうか♪
平方四辺形までは図を描いてたのに...あと一歩が出ませんでしたわ ^^;

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンモルゲン ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
納得頂けたようですね。