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[答1444] 三角形の面積の最大値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1444] 三角形の面積の最大値


 130<x<361 のとき、AB=19 ,BC=√x ,CA=2√(361-x) である△ABCの面積の最大値は?
1444-面積最大の三角形0


[解答1]

 △ABC=S とすれば、ヘロンの公式により、

 16S2=(AB+BC+CA)(AB+BC-CA)(AB-BC+CA)(-AB+BC+CA)

  ={(AB+BC)2-CA2}{CA2-(AB-BC)2}=-CA4+2(AB2+BC2)CA2-(AB2-BC2)2

  =-16(361-x)2+8(361+x)(361-x)-(361-x)2

  =(361-x){-16(361-x)+8(361+x)-(361-x)}

  =(361-x)(25x-9・361)=-25(x-361)(x-9・361/25)

 であるので、x=(361+9・361/25)/2=17・361/25 のとき最大になり、そのとき、

 16S2=-25(17・361/25-361)(17・361/25-9・361/25)=-25(-8・361/25)(8・361/25)=(8・361/5)2

 4S=8・361/5 、S=722/5=144.4 です。


[解答2]

 XY平面で A(0,19),B(0,0),C(X,Y) とおけば、

 BC2+AC2/4=x+361-x=361 、4BC2+AC2=1444 であるので、

 4(X2+Y2)+X2+(Y-19)2=1444 、5X2+5Y2-38Y=1083 、X2+Y2-38Y/5+361/25=1083/5+361/25 、

 X2+(Y-19/5)2=5776/25 、Cはこの円周上にあります。

 Y軸から一番離れた C(±76/5,19/5) のとき △ABCは最大になり、

 △ABC=19(76/5)/2=722/5=144.4 です。

 なお、このとき x=BC2=(±76/5)2+(19/5)2=6137/25 です。


[解答3]

 BC2+AC2/4=x+361-x=361=AB2 であり、

 ∠BAC=θ とおけば、BC2=AC2+AB2-2・AB・ACcosθ 、

 BC2+AC2/4-AB2=5AC2/4-2・AB・ACcosθ 、

 0=5AC2/4-2・19・ACcosθ 、5AC/4=38cosθ 、AC=(152/5)cosθ 、

 △ABC=(1/2)AB・ACsinθ=(19/2)(152/5)cosθsinθ=(722/5)sin2θ になり、

 θ=∠BAC=45゚ のとき、△ABCの最大値は 722/5=144.4 です。

 なお、このとき AC=(76√2)/5=2√(2888/25)=2√(361-6137/25) 、x=6137/25 です。


[解答4]

 AB2+AC2-BC2=361+4(361-x)+x=5・361-3x>0 より ∠BAC<90゚ です。

 AB=19 ,BD=5√x ,DA=76 の △ABDにおいて、∠BADの二等分線とBDの交点をEとすれば、
1444-面積最大の三角形
 BE=√x ,ED=4√x ,AE=√(AB・AD-BE・BD)=√(19・76-4x)=2√(361-x) だから、

 △ABC≡△ABE であり、△ABC=△ABE=△ABD/5 、△ABDは ∠BAD=90゚ のときに最大で、

 このとき、△ABD=19・76/2=722 、△ABC=△ABD/5=722/5=144.4 です。

 なお、このときのxの値は (5√x)2=192+762 、x=6137/25 です。

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