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[答1445] 四角形の面積

ヤドカリ

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PA180765.jpg



[答1445] 四角形の面積


 図のように、平面上に AB=10,BC=8,CD=√74,DA=3√10 である四角形ABCDがあり、
1445-四角形の面積
 その外部に 各辺を斜辺とする直角二等辺三角形ABP,BCQ,CDR,DAS を描けば

 PR=17 になりました。このとき、四角形PQRSの面積は?


[解答]

 複素平面上で、A(a),B(b),C(c),D(d),P(p),Q(q),R(r),S(s) とすれば、

 AはPを中心にBを、CはRを中心にDを いずれも 90゚回転したものだから、

 a-p=i(b-p) ,c-r=i(d-r) 、辺々減じて、a-p-c+r=i(b-p-d+r) 、

 (r-p)(1-i)=-a+ib+c-id になり、

 BはQを中心にCを、DはSを中心にAを いずれも 90゚回転したものだから、

 b-q=i(c-q) ,d-s=i(a-s) 、辺々減じて、b-q-d+s=i(c-q-a+s) 、

 (s-q)(1-i)=-ia-b+ic+d=i(-a+ib+c-id)=i(r-p)(1-i) 、s-q=i(r-p) です。

 これは 有向線分QSが 有向線分PRを 90゚回転したものであることを表しますので、

 PR=QS ,PR⊥QS 、四角形PQRS=PR・QS/2=172/2=144.5 です。


[参考1]

 四角形ABCDの外部に 各辺を斜辺とする直角二等辺三角形ABP,BCQ,CDR,DAS を描けば

 PR=QS ,PR⊥QS になります。

 これを、ヴァン・オーベルの定理(Van Aubel's theorem)といいます。

 この定理は1878年に出版された「HH van Aubel」にちなんで命名されました。


[参考2]

 A(6+8i),B(0),C(8),D(15+5i),P(-1+7i),Q(4-4i),R(14-i),S(12+11i) として、

 図を描いてあります。 

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Comments 2

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Re: タイトルなし

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
変換ミスのご指摘を有難うございました。
早速、訂正しました。