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[答1447] 直角二等辺三角形と最小値

ヤドカリ

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[答1447] 直角二等辺三角形と最小値


 ∠A=90゚,AB=AC=60 である△ABCの 辺AB上に点Pをとるとき、12BP+37CP の最小値は?
    1447-直角二等辺三角形
 また、そのときの AP の長さは?


[解答1]

 AP=x ,12BP+37CP=f(x) (0≦x≦60) とおけば、f(x)=12(60-x)+37√(x2+3600) になり、

 f'(x)=-12+37x/√(x2+3600)={37x-12√(x2+3600)}/√(x2+3600)

  =(1225x2-144・3600)/{37x+12√(x2+3600)}/√(x2+3600) 、

  =25(49x2-144・144)/{37x+12√(x2+3600)}/√(x2+3600) 、

  =25(7x-144)(7x+144)/{37x+12√(x2+3600)}/√(x2+3600) 、

 0≦x<144/7 のとき f'(x)<0 ,144/7<x≦60 のとき f'(x)>0 だから、最小値は、

 f(144/7)=12(60-144/7)+37√(1442/49+3600)=144(5-12/7)+37・12√(122/49+25)

  =144・23/7+37・12・37/7=2820 です。


[解答2]

 ∠ACP=θ とおけば、AP=60tanθ ,BP=60-60tanθ ,CP=60/cosθ になり、

 12BP+37CP=12(60-60tanθ)+37・60/cosθ=60(12-12tanθ+37/cosθ) です。

 12BP+37CP=k ,tan(θ/2)=t とおけば、

 k/60=12-12・2t/(1-t2)+37(1+t2)/(1-t2)={12(1-t2)-24t+37(1+t2)}/(1-t2)

  =(25t2-24t+49)/(1-t2) ですので、

 25t2-24t+49=(k/60)(1-t2) 、(25+k/60)t2-24t+(49-k/60)=0 になり、

 判別式は、122-(25+k/60)(49-k/60)≧0 、(k/60)2-24(k/60)+122-352≧0 、

 (k/60)2-24(k/60)-47・23≧0 、(k/60+23)(k/60-47)≧0 、k/60≧47 です。

 k/60=47 のとき、(25+k/60)t2-24t+(49-k/60)=0 より、72t2-24t+2=0 、

 t=1/6 で、tanθ=2t/(1-t2)=2(1/6)/(1-1/36)=12/35 、0゚<θ<45゚ を満たします。

 このとき、AP=60tanθ=60・12/35=144/7 ,12BP+37CP=k=2820 です。


[解答3]

 12BP+37CP=12(60-AP)+37CP=720+37CP-12AP=720+{49(CP-AP)+25(CP+AP)}/2

 ここで、相加・相乗平均の関係により、{49(CP-AP)+25(CP+AP)}/2≧√{49(CP-AP)・25(CP+AP)} 、

 (CP-AP)(CP+AP)=CP2-AP2=602 だから、12BP+37CP≧720+√(49・25・602)=2820 です。

 等号が成り立つのは、49(CP-AP)=25(CP+AP) のときですので、

 24CP=74AP 、CP/37=AP/12=k とおけば、CP=37k,AP=12k 、

 CP2-AP2=602 だから、1369k2-144k2=602 、k=12/7 、AP=12k=144/7 です。

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