[答1447] 直角二等辺三角形と最小値

[答1447] 直角二等辺三角形と最小値


　∠A＝90ﾟ，AB＝AC＝60 である△ABCの 辺AB上に点Pをとるとき、12BP＋37CP の最小値は？
　　　　
　また、そのときの AP の長さは？


[解答1]

　AP＝x ，12BP＋37CP＝f(x) (0≦x≦60) とおけば、f(x)＝12(60－x)＋37√(x²＋3600) になり、

　f'(x)＝－12＋37x/√(x²＋3600)＝{37x－12√(x²＋3600)}/√(x²＋3600)

　 ＝(1225x²－144･3600)/{37x＋12√(x²＋3600)}/√(x²＋3600) 、

　 ＝25(49x²－144･144)/{37x＋12√(x²＋3600)}/√(x²＋3600) 、

　 ＝25(7x－144)(7x＋144)/{37x＋12√(x²＋3600)}/√(x²＋3600) 、

　0≦x＜144/7 のとき f'(x)＜0 ，144/7＜x≦60 のとき f'(x)＞0 だから、最小値は、

　f(144/7)＝12(60－144/7)＋37√(144²/49＋3600)＝144(5－12/7)＋37･12√(12²/49＋25)

　 ＝144･23/7＋37･12･37/7＝2820 です。


[解答2]

　∠ACP＝θ とおけば、AP＝60tanθ ，BP＝60－60tanθ ，CP＝60/cosθ になり、

　12BP＋37CP＝12(60－60tanθ)＋37･60/cosθ＝60(12－12tanθ＋37/cosθ) です。

　12BP＋37CP＝k ，tan(θ/2)＝t とおけば、

　k/60＝12－12･2t/(1－t²)＋37(1＋t²)/(1－t²)＝{12(1－t²)－24t＋37(1＋t²)}/(1－t²)

　 ＝(25t²－24t＋49)/(1－t²) ですので、

　25t²－24t＋49＝(k/60)(1－t²) 、(25＋k/60)t²－24t＋(49－k/60)＝0 になり、

　判別式は、12²－(25＋k/60)(49－k/60)≧0 、(k/60)²－24(k/60)＋12²－35²≧0 、

　(k/60)²－24(k/60)－47･23≧0 、(k/60＋23)(k/60－47)≧0 、k/60≧47 です。

　k/60＝47 のとき、(25＋k/60)t²－24t＋(49－k/60)＝0 より、72t²－24t＋2＝0 、

　t＝1/6 で、tanθ＝2t/(1－t²)＝2(1/6)/(1－1/36)＝12/35 、0ﾟ＜θ＜45ﾟ を満たします。

　このとき、AP＝60tanθ＝60･12/35＝144/7 ，12BP＋37CP＝k＝2820 です。


[解答3]

　12BP＋37CP＝12(60－AP)＋37CP＝720＋37CP－12AP＝720＋{49(CP－AP)＋25(CP＋AP)}/2

　ここで、相加･相乗平均の関係により、{49(CP－AP)＋25(CP＋AP)}/2≧√{49(CP－AP)･25(CP＋AP)} 、

　(CP－AP)(CP＋AP)＝CP²－AP²＝60² だから、12BP＋37CP≧720＋√(49･25･60²)＝2820 です。

　等号が成り立つのは、49(CP－AP)＝25(CP＋AP) のときですので、

　24CP＝74AP 、CP/37＝AP/12＝k とおけば、CP＝37k，AP＝12k 、

　CP²－AP²＝60² だから、1369k²－144k²＝60² 、k＝12/7 、AP＝12k＝144/7 です。

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