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[答1448] 直角三角形の2辺

ヤドカリ

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PA310810.jpg



[答1448] 直角三角形の2辺


 図のように、直角三角形ABCの斜辺AC上に Aに近い方から点P,Qをとります。
1448-直角三角形0
 AP=2,PQ=12,QC=36,∠PBQ=45゚ のとき、(AB,BC)=?


[解答1]

 座標平面上で、A(0,a),B(0,0),C(0,c) ,BQ:y=mx ,BP:y=nx とすれば、

 a2+c2=2500 、AC:x/c+y/a=1 すなわち ax+cy=ac です。

 ax+cy=ac に y=mx を代入して ax+cmx=ac 、x=ac/(a+cm) 、

 これがQのx座標だから、ac/(a+cm)=14c/50 、a/(a+cm)=7/25 、25a=7a+7cm 、cm=18a/7 、

 ax+cy=ac に y=nx を代入して ax+cnx=ac 、x=ac/(a+cn) 、

 これがPのx座標だから、ac/(a+cn)=2c/50 、a/(a+cn)=1/25 、25a=a+cn 、cn=24a です。

 ∠PBC-∠QBC=45゚ で、tan∠PBC=n,tan∠QBC=m であり、

 tan(∠PBC-∠QBC)=tan45゚ 、(tan∠PBC-tan∠QBC)/(1+tan∠PBCtan∠QBC)=1 、

 (n-m)/(1+nm)=1 、n-m=1+nm 、c2n-c2m=c2+c2nm 、c(24a)-c(18a/7)=c2+(24a)(18a/7) 、

 168ca-18ca=7c2+432a2 、7c2-150ca+432a2=0 、(c-18a)(7c-24a)=0 、c=18a,24a/7 です。

 a2+c2=2500 ですので、

 c=18a のとき、a2+(18a)2=2500 、325a2=2500 、a=10/√13 、c=180/√13 になり、

 c=24a/7 のとき、a2+(24a/7)2=2500 、625a2/49=2500 、a=14 、c=48 になります。

 (AB,BC)=(a,c)=(10/√13,180/√13),(14,48) です。


[解答2]

 xy平面上で、A(-8,0),P(-6,0),Q(6,0),C(42,0),B(a,b) (b<0) とします。

 △PBQの外心をDとすれば、D(0,-6) で、DB2=DP2 だから、a2+(b+6)2=72 です。

 ベクトルAB,AC は垂直ですので、(a+8)(a-42)+b2=0 、b2=-(a+8)(a-42) です。

 a2+(b+6)2=72 ,(a+8)(a-42)+b2=0 を辺々減じて、

 34a+336+12b+36=72 、b=-17a/6-25 になり、a2+(b+6)2=72 に代入し、

 a2+(-17a/6-25+6)2=72 、a2+(-17a/6-19)2=72 、36a2+(-17a-114)2=2592 、

 325a2+3876a+10404=0 、(13a+102)(25a+102)=0 、a=-102/13,-102/25 です。

 AB=√{(a+8)2+b2}=√{(a+8)2-(a+8)(a-42)}=10√(a/2+4) ,

 BC=√{(a-42)2+b2}=√{(a-42)2-(a+8)(a-42)}=10√(21-a/2) です。

 a=-102/13 のとき AB=10√(-51/13+4)=10/√13 ,AC=10√(21+51/13)=180/√13 、

 a=-102/25 のとき AB=10√(-51/25+4)=14 ,AC=10√(21+51/25)=48 です。

 まとめて、(AB,BC)=(10/√13,180/√13),(14,48) です。


[解答3]

 xy平面上で、B(0,0) とし、x軸の正の部分にQをとり P(p,p),Q(kp,0) (p>0 ,k>0) とします。

 Aは PQを 1:7 に外分するので A((7-k)p/6,7p/6) になり、

 Cは PQを 4:3 に外分するので C((4k-3)p,-3p) です。

 ベクトルBC,BA は垂直ですので、(4k-3)p(7-k)p/6-3p・7p/6=0 、(4k-3)(7-k)-21=0 、

 4k2-31k+42=0 、(k-6)(4k-7)=0 、k=6,7/4 です。

 PQ=√{(p-kp)2+p2}=p√{(1-k)2+1} ,

 AB=√{(7-k)2p2/62+(7p)2/62}=(p/6)√{(7-k)2+49} ,

 AC=√{(4k-3)p2+(3p)2}=p√{(4k-3)2+9} です。

 k=6 のとき、PQ=p√26=12 だから、p=12/√26 、

 AB=(2/√26)√50=10/√13 ,AC=(12/√26)√450=180/√13 です。

 k=7/4 のとき、PQ=p√(25/16)=12 だから、p=48/5 、

 AB=(8/5)√{(21/4)2+72}=(8/5)(7/4)√(32+42)=14 ,AC=(48/5)√(42+9)=48 です。

 まとめて、(AB,BC)=(10/√13,180/√13),(14,48) です。


[解答4]

 点P,Qから 辺AB,BCに垂線を下ろし、直角三角形ABCと相似な三角形(黄色)を作ります。

  1448-直角三角形

 AP:PQ:QC=2:12:36=1:6:18 だから、

 図の 縦の辺の長さを a,6a,18a 、横の辺の長さを b,6b,18b とします。

 ピンクの三角形の辺の長さは 縦が 24a,横が b 、水色の三角形の辺の長さは 縦が 18a,横が 7b 、

 右上の図のように (24a-b):(24a+b)=18a:7b になり、18a(24a+b)=7b(24a-b) 、

 7b2-150ab+432a2=0 、(b-18a)(7b-24a)=0 、a:b=1:18,7:24 、

 AB:BC=25a:25b=1:18,7:24 です。

 AB:BC=1:18 のとき、AB=k ,BC=18k とすれば、三平方の定理より、

 k2+(18k)2=2500 、k2=100/13 、k=10/√13 、AB=10/√13 ,BC=180/√13 、

 AB:BC=7:24 のとき、AB=7k ,BC=24k とすれば、三平方の定理より、

 (7k)2+(24k)2=2500 、k2=4 、k=2 、AB=14 ,BC=48 、

 まとめて、(AB,BC)=(10/√13,180/√13),(14,48) です。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンアーベント ^^

いやぁ〜いずれも難し ^^;;
わたしゃ...以下のごとき式を手計算じゃ無理と即決で ^^...PC先生にお願いしてしまいました Orz〜
(強いていうと...[解答1]に近かったようでした...)

AB=x,BC=y
BからACへの垂線の足をH, BH=h
PH=a.QH=b と置いて...

2+a=x^2/50
36+b=y^2/50
(11+b)^2+(xy/50)^2=25^2 ・・・ピタゴラス
a/(xy/50)+b/(xy/50)=1-a/(xy/50)*b/(xy/50) ・・・tanの和

a=48/25,b=252/25
x=14,y=48
so...
(AB,BC)=(14,48)

a=-24/13...2-|a|>0・・・こちらは...垂線の足がPよりもA側になるときもあるということですのね ^^
b=180/13
のとき
x=10/√13
y=180/√13
so...
(AB,BC)=(10√13/13,180√13/13)

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
[解答4]がいちばん簡単に解けると思います。
計算はどの解答も手計算でできます。