[答1449] 23が続く最初の数

[答1449] 23が続く最初の数


　ある自然数から始めて、その数の 一の位の７倍と一の位以外を加えたものを次の数にします。

　例えば、99935 → 5･7＋9993＝10028 → 8･7＋1002＝1058 → 8･7＋105＝161 → 1･7＋16＝23

　 → 3･7＋2＝23 → 3･7＋2＝23 → …… と 23 が続きます。

　99935，10028，1058，161，23 などを最初の数とすれば、23が続くようになりますが、

　最初の数を100000以下の自然数として、23が続くようになる最初の数は何個？


[解答]

　ｎの一の位をｂとし、n＝10a＋b とすれば、10a＋b → a＋7b で、n'＝a＋7b とします。

　n－n'＝(10a＋b)－(a＋7b)＝9a－6b＝3(3a－2b) ですので、

　(a，b)＝(2，3)，(4，6)，(6，9) すなわち n＝23，46，69 のときだけ n＝n' です。

　また、a≧7 のとき 3a－2b＞0 ですので、n≧70 のとき n＞n' です。

　次に、ｎを69で割った商をｑ，余りをｒとすれば、n＝69q＋r です。

　7n－n'＝7(10a＋b)－(a＋7b)＝69a だから、

　n－n'＝7n－n'－6n＝69a－6(69q＋r)＝69(－6q＋a)－6r になります。

　よって、ｒが23の倍数のときのみ n≡n' (mod 69) です。

　従って、23が続くようになる最初の数ｎは n≡23 (mod 69) です。

　n＝69k＋23 (k＝0，1，2，……) とおけば、

　n＝69k＋23≦100000 、69k≦99977 、k≦1448 ですので、1449個です。


[参考]

　自然数の 一の位の７倍と一の位以外を加えたものが 23の倍数になれば

　もとの自然数が 23の倍数になりますので、これが23の倍数の判定法になります。

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