FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1449] 23が続く最初の数

ヤドカリ

ヤドカリ

PB010948.jpg



[答1449] 23が続く最初の数


 ある自然数から始めて、その数の 一の位の7倍と一の位以外を加えたものを次の数にします。

 例えば、99935 → 5・7+9993=10028 → 8・7+1002=1058 → 8・7+105=161 → 1・7+16=23

  → 3・7+2=23 → 3・7+2=23 → …… と 23 が続きます。

 99935,10028,1058,161,23 などを最初の数とすれば、23が続くようになりますが、

 最初の数を100000以下の自然数として、23が続くようになる最初の数は何個?


[解答]

 nの一の位をbとし、n=10a+b とすれば、10a+b → a+7b で、n'=a+7b とします。

 n-n'=(10a+b)-(a+7b)=9a-6b=3(3a-2b) ですので、

 (a,b)=(2,3),(4,6),(6,9) すなわち n=23,46,69 のときだけ n=n' です。

 また、a≧7 のとき 3a-2b>0 ですので、n≧70 のとき n>n' です。

 次に、nを69で割った商をq,余りをrとすれば、n=69q+r です。

 7n-n'=7(10a+b)-(a+7b)=69a だから、

 n-n'=7n-n'-6n=69a-6(69q+r)=69(-6q+a)-6r になります。

 よって、rが23の倍数のときのみ n≡n' (mod 69) です。

 従って、23が続くようになる最初の数nは n≡23 (mod 69) です。

 n=69k+23 (k=0,1,2,……) とおけば、

 n=69k+23≦100000 、69k≦99977 、k≦1448 ですので、1449個です。


[参考]

 自然数の 一の位の7倍と一の位以外を加えたものが 23の倍数になれば

 もとの自然数が 23の倍数になりますので、これが23の倍数の判定法になります。

.
スポンサーサイト



Comments 0

There are no comments yet.