[答1450] 等間隔の点と三角形の面積

[答1450] 等間隔の点と三角形の面積


　図のように、A₀ ，A₁ ，A₂ ，A₃ ，A₄ ，…… が 直線上に等間隔に並んでおり、

　B₀ ，B₁ ，B₂ ，B₃ ，B₄ ，…… も 別の直線上に等間隔に並んでいます。

　線分A_nB_n+1，線分B_nA_n+1 の交点を C_n として、

　△C₀A₀B₀＝210，△C₀B₀B₁＝420 ，△C₀B₁A₁＝630 のとき、

　△C₆A₆B₆＝？　また、△C₂₀A₂₀B₂₀＝？


[解答1]

　座標平面上で、A_n(p＋na，q＋nc)，B_n(2nb，0) とすれば、

　A_n+1(p＋a＋na，q＋c＋nc)，B_n+1(2b＋2nb，0) です。

　C_n が A_nB_n+1 を s：(1－s) に内分するものとすれば、

　C_n(p＋na－ps－nas＋2bs＋2nbs，q＋nc－qs－ncs) 、

　C_n が B_nA_n+1 を t：(1－t) に内分するものとすれば、

　C_n(2nb－2nbt＋pt＋at＋nat，qt＋ct＋nct) 、

　よって、p＋na－ps－nas＋2bs＋2nbs＝2nb－2nbt＋pt＋at＋nat ，q＋nc－qs－ncs＝qt＋ct＋nct 、

　(p＋na－2nb)＋(－p－na＋2b＋2nb)s＝(－2nb＋p＋a＋na)t ，(q＋nc)－(q＋nc)s＝(q＋c＋nc)t 、

　(p＋na－2nb)(q＋nc)＋(－p－na＋2b＋2nb)(q＋nc)s＝(－2nb＋p＋a＋na)(q＋nc)t ，

　 (q＋nc)(－p－na＋2b＋2nb)－(q＋nc)(－p－na＋2b＋2nb)s＝(q＋c＋nc)(－p－na＋2b＋2nb)t 、

　辺々加えて、2(q＋nc)b＝{(a＋2b)(q＋nc)＋c(－p－na＋2b＋2nb)}t になり、

　t＝2(q＋nc)b/{(a＋2b)(q＋nc)＋c(－p－na＋2b＋2nb)}

　 ＝2(q＋nc)b/(aq＋nac＋2bq＋2nbc－cp－nac＋2bc＋2nbc)

　 ＝2(q＋nc)b/{aq－cp＋2b(q＋c)＋4nbc}

　C_nのｙ座標は (q＋c＋nc)t＝2b(q＋nc)(q＋c＋nc)/{aq－cp＋2b(q＋c)＋4nbc} 、

　△C_nB_nB_n+1＝2b(q＋nc)b(q＋c＋nc)/{aq－cp＋2b(q＋c)＋4nbc} です。

　また、△A_nB_nB_n+1＝b(q＋nc) ，△A_n+1B_nB_n+1＝b(q＋c＋nc) です。

　n＝0 のとき、△A₀B₀B₁＝bq＝630 ，△A₁B₀B₁＝b(q＋c)＝1050 ですので、bc＝420 、

　△C₀B₀B₁＝2bqb(q＋c)/{aq－cp＋2b(q＋c)}＝2･630･1050/(aq－cp＋2100)＝420 ですので、

　aq－cp＋2100＝3150 、aq－cp＝1050 です。

　△A_nB_nB_n+1＝b(q＋nc)＝630＋420n＝210(3＋2n) で、

　△C_nB_nB_n+1＝2b(q＋nc)b(q＋nc＋c)/{aq－cp＋2b(q＋c)＋4nbc}

　 ＝2(630＋420n)(630＋420n＋420)/(1050＋2100＋1680n)＝420(3＋2n)(5＋2n)/(15＋8n) だから、

　△C_nA_nB_n＝210(3＋2n)－420(3＋2n)(5＋2n)/(15＋8n)

　 ＝210(3＋2n){1－2(5＋2n)/(15＋8n)}＝210(3＋2n)(5＋4n)/(15＋8n) です。

　△C₆A₆B₆＝210･15･29/63＝1450 で、

　△C₂₀A₂₀B₂₀＝210･43･85/175＝4386 です。


[解答2]


　△C₀A₀B₀：△C₀B₀B₁＝△C₀A₁A₀：△C₀B₁A₁ より、

　210：420＝△C₀A₁A₀：630 、△C₀A₁A₀＝315 です。

　数列｛△B_nA_n+1A_n｝，｛△A_nB_nB_n+1｝は等差数列だから、

　△B_nA_n+1A_n＝525＋an ，△A_nB_nB_n+1＝630＋bn とおくことができます。

　△B_n+1A_n+1A_n＝△B_n+1A_n+2A_n+1＝525＋a(n＋1) ，

　△A_n+1B_nB_n+1＝△A_n+1B_n+1B_n+2＝630＋b(n＋1) です。

　△C_nA_nB_n＝S(n)，△C_nB_nB_n+1＝T(n)，△C_nB_n+1A_n+1＝U(n)，△C_nA_n+1A_n＝V(n) とすれば、

　S(n)＋V(n)＝525＋an，U(n)＋V(n)＝525＋a(n＋1)，S(n)＋T(n)＝630＋bn，T(n)＋U(n)＝630＋b(n＋1) です。

　U(n)－S(n)＝a＝b は一定ですので、a＝b＝U(0)－S(0)＝630－210＝420 、

　S(n)＋V(n)＝525＋420n，U(n)＋V(n)＝945＋420n，S(n)＋T(n)＝630＋420n，T(n)＋U(n)＝1050＋420n です。

　T(n)/S(n)＝{T(n)＋U(n)}/{S(n)＋V(n)}＝(1050＋420n)/(525＋420n)＝2(5＋2n)/(5＋4n) 、

　{630＋420n－S(n)}/S(n)＝2(5＋2n)/(5＋4n) 、210(3＋2n)/S(n)－1＝2(5＋2n)/(5＋4n) 、

　210(3＋2n)/S(n)＝2(5＋2n)/(5＋4n)＋1＝(15＋8n)/(5＋4n) 、S(n)＝210(3＋2n)(5＋4n)/(15＋8n) です。

　△C₆A₆B₆＝210･15･29/63＝1450 で、

　△C₂₀A₂₀B₂₀＝210･43･85/175＝4386 です。


[参考]

　△C_nA_nB_n＝210(3＋2n)(5＋4n)/(15＋8n) が整数になるｎを求めてみます。

　210(3＋2n)(5＋4n)/(15＋8n)＝210(8n²＋22n＋15)/(8n＋15)＝(1680n²＋4620n＋3150)/(8n＋15)

　 ＝210n＋735/4＋(1575/4)/(8n＋15) です。

　15＋8n は奇数ですので、4△C_nA_nB_n が整数になるｎも同じで、

　4△C_nA_nB_n＝840n＋735＋1575/(8n＋15)＝840n＋735＋3²･5²･7/(8n＋15) であり、

　3²･5²･7 の 15以上の約数は、15，21，25，35，45，63，75，105，175，225，315，525，1575 、

　このうち、8を法として －1 と合同なものは、15，63，175，1575 だから、

　8n＋15＝15，63，175，1575 、n＝0，6，20，195 です。

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