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[答1450] 等間隔の点と三角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ

PB010961.jpg



[答1450] 等間隔の点と三角形の面積


 図のように、A0 ,A1 ,A2 ,A3 ,A4 ,…… が 直線上に等間隔に並んでおり、

 B0 ,B1 ,B2 ,B3 ,B4 ,…… も 別の直線上に等間隔に並んでいます。
1450-等間隔の点0
 線分AnBn+1,線分BnAn+1 の交点を Cn として、

 △C0A0B0=210,△C0B0B1=420 ,△C0B1A1=630 のとき、

 △C6A6B6=? また、△C20A20B20=?


[解答1]

 座標平面上で、An(p+na,q+nc),Bn(2nb,0) とすれば、

 An+1(p+a+na,q+c+nc),Bn+1(2b+2nb,0) です。

 Cn が AnBn+1 を s:(1-s) に内分するものとすれば、

 Cn(p+na-ps-nas+2bs+2nbs,q+nc-qs-ncs) 、

 Cn が BnAn+1 を t:(1-t) に内分するものとすれば、

 Cn(2nb-2nbt+pt+at+nat,qt+ct+nct) 、

 よって、p+na-ps-nas+2bs+2nbs=2nb-2nbt+pt+at+nat ,q+nc-qs-ncs=qt+ct+nct 、

 (p+na-2nb)+(-p-na+2b+2nb)s=(-2nb+p+a+na)t ,(q+nc)-(q+nc)s=(q+c+nc)t 、

 (p+na-2nb)(q+nc)+(-p-na+2b+2nb)(q+nc)s=(-2nb+p+a+na)(q+nc)t ,

  (q+nc)(-p-na+2b+2nb)-(q+nc)(-p-na+2b+2nb)s=(q+c+nc)(-p-na+2b+2nb)t 、

 辺々加えて、2(q+nc)b={(a+2b)(q+nc)+c(-p-na+2b+2nb)}t になり、

 t=2(q+nc)b/{(a+2b)(q+nc)+c(-p-na+2b+2nb)}

  =2(q+nc)b/(aq+nac+2bq+2nbc-cp-nac+2bc+2nbc)

  =2(q+nc)b/{aq-cp+2b(q+c)+4nbc}

 Cnのy座標は (q+c+nc)t=2b(q+nc)(q+c+nc)/{aq-cp+2b(q+c)+4nbc} 、

 △CnBnBn+1=2b(q+nc)b(q+c+nc)/{aq-cp+2b(q+c)+4nbc} です。

 また、△AnBnBn+1=b(q+nc) ,△An+1BnBn+1=b(q+c+nc) です。

 n=0 のとき、△A0B0B1=bq=630 ,△A1B0B1=b(q+c)=1050 ですので、bc=420 、

 △C0B0B1=2bqb(q+c)/{aq-cp+2b(q+c)}=2・630・1050/(aq-cp+2100)=420 ですので、

 aq-cp+2100=3150 、aq-cp=1050 です。

 △AnBnBn+1=b(q+nc)=630+420n=210(3+2n) で、

 △CnBnBn+1=2b(q+nc)b(q+nc+c)/{aq-cp+2b(q+c)+4nbc}

  =2(630+420n)(630+420n+420)/(1050+2100+1680n)=420(3+2n)(5+2n)/(15+8n) だから、

 △CnAnBn=210(3+2n)-420(3+2n)(5+2n)/(15+8n)

  =210(3+2n){1-2(5+2n)/(15+8n)}=210(3+2n)(5+4n)/(15+8n) です。

 △C6A6B6=210・15・29/63=1450 で、

 △C20A20B20=210・43・85/175=4386 です。


[解答2]
1450-等間隔の点

 △C0A0B0:△C0B0B1=△C0A1A0:△C0B1A1 より、

 210:420=△C0A1A0:630 、△C0A1A0=315 です。

 数列{△BnAn+1An},{△AnBnBn+1}は等差数列だから、

 △BnAn+1An=525+an ,△AnBnBn+1=630+bn とおくことができます。

 △Bn+1An+1An=△Bn+1An+2An+1=525+a(n+1) ,

 △An+1BnBn+1=△An+1Bn+1Bn+2=630+b(n+1) です。

 △CnAnBn=S(n),△CnBnBn+1=T(n),△CnBn+1An+1=U(n),△CnAn+1An=V(n) とすれば、

 S(n)+V(n)=525+an,U(n)+V(n)=525+a(n+1),S(n)+T(n)=630+bn,T(n)+U(n)=630+b(n+1) です。

 U(n)-S(n)=a=b は一定ですので、a=b=U(0)-S(0)=630-210=420 、

 S(n)+V(n)=525+420n,U(n)+V(n)=945+420n,S(n)+T(n)=630+420n,T(n)+U(n)=1050+420n です。

 T(n)/S(n)={T(n)+U(n)}/{S(n)+V(n)}=(1050+420n)/(525+420n)=2(5+2n)/(5+4n) 、

 {630+420n-S(n)}/S(n)=2(5+2n)/(5+4n) 、210(3+2n)/S(n)-1=2(5+2n)/(5+4n) 、

 210(3+2n)/S(n)=2(5+2n)/(5+4n)+1=(15+8n)/(5+4n) 、S(n)=210(3+2n)(5+4n)/(15+8n) です。

 △C6A6B6=210・15・29/63=1450 で、

 △C20A20B20=210・43・85/175=4386 です。


[参考]

 △CnAnBn=210(3+2n)(5+4n)/(15+8n) が整数になるnを求めてみます。

 210(3+2n)(5+4n)/(15+8n)=210(8n2+22n+15)/(8n+15)=(1680n2+4620n+3150)/(8n+15)

  =210n+735/4+(1575/4)/(8n+15) です。

 15+8n は奇数ですので、4△CnAnBn が整数になるnも同じで、

 4△CnAnBn=840n+735+1575/(8n+15)=840n+735+32・52・7/(8n+15) であり、

 32・52・7 の 15以上の約数は、15,21,25,35,45,63,75,105,175,225,315,525,1575 、

 このうち、8を法として -1 と合同なものは、15,63,175,1575 だから、

 8n+15=15,63,175,1575 、n=0,6,20,195 です。

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