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[答134] 並べてできる5桁の数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答134] 並べてできる5桁の数


 ある3桁の自然数xと2桁の自然数yについて、x2-y2 を計算すると、

 x,yの順に並べた5桁の数になります。この5桁の数は?


[解答1]

 x2-y2=100x+y より、

 x2-100x-y2-y=0、

 4x2-400x+10000-4y2-4y-1=9999、

 (2x-100)2-(2y+1)2=9999、

 (2x+2y-99)(2x-2y-101)=9999、

 ここで、2x+2y-99=a,2x-2y-101=b とおくと、ab=9999 です。

 4x-200=a+b,4y+2=a-b となって、

 10≦y≦99 だから、42≦4y+2≦398、42≦a-b≦398、

 ab=9999, 42≦a-b≦398 を満たすa,bは、a=303,b=33 だけです。

 このとき、x=134,y=67 で、求める5桁の数は、13467 です。


[解答2]

 x2-y2=100x+y より、x(x-100)=y(y+1)、

 x,yの最大公約数をgとすれば、互いに素な自然数a,bと自然数hを使って、

 x=ag,y=bg,x-100=bh,y+1=ah と表すことができます。

 これらの式より、ag-bh=100,ah-bg=1 となって、和と差をとれば、

 (a-b)(g+h)=101,(a+b)(g-h)=99 になります。

 (a-b)(g+h)=101 より a-b=1,g+h=101 で、a=b+1,h=101-g だから、

 (a+b)(g-h)=99 に代入して、(2b+1)(2g-101)=99 になります。

 2g-101≧1 だから g≧51、y=bg≦99 と併せて b=1 になります。

 ここまでくれば、g=67,a=2,h=34,x=134,y=67 は簡単に出ます。


[解答3] uch*n*anさんの解答より

 x2-y2=100x+y より、x(x-100)=y(y+1)、

 x は偶数で,10≦y≦99 なので,110≦x(x-100)≦9900,102≦x≦160 です。

 さらに,(x-y)(x+y+1)=101x と変形すると,

 101 は素数,3≦x-y<x≦160,102≦x<x+y+1≦260,なので,

 x+y+1=101・2,x-y=x/2,しかありえません。

 そこで,これを解くと,x=134,y=67 になります。

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Comments 3

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いっちゃん  
No title

こんばんは。
この紫のお花の名前はなんでしょうか?
黄色いのもあります?昔実家の裏に咲いてた花に似てる
ような。。可愛いですね^^ポチ

いっちゃん  
No title

シランでしたよね。なんか違う花に思ってしまいました。笑

知らんなんて言わないでくださいね。。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
このごろ至る所に咲いています。白いシランには中々お目にかかれません。