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[答1451] 直角三角形の内接円と外接円

ヤドカリ

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[答1451] 直角三角形の内接円と外接円


 周囲の長さが 34 である直角三角形の 内接円の半径と外接円の半径の比が 42:149 であるとき、

 直角をはさむ2辺の長さは?


[解答]

 直角をはさむ2辺の長さを a,b ,内接円の直径を 2r=42k ,外接円の直径を 2R=149k とします。

 直角三角形の斜辺は外接円の直径だから、2R=149k です。

 直角三角形においては、a+b-2R=2r だから、a+b=2R+2r=191k であり、

 面積の2倍は ab=(a+b+2R)r=(191k+149k)・42k/2=340・21k2 ですので、

 a,b を解とする xの2次方程式は、x2-191k+340・21k2=0 、(x-140k)(x-51k)=0 、

 x=140k,51k 、これが直角をはさむ2辺の長さで、

 周囲の長さは、a+b+2R=340k=34 ですので、k=1/10 だから、

 直角をはさむ2辺の長さは 14,5.1 です。

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