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[答1452] 外接円の半径

ヤドカリ

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[答1452] 外接円の半径


 AB=17,BC=87,CD=24,DA=116 の 四角形ABCDが 円に内接しているとき、この円の半径は?


[解答1]

 ∠A=θ とすれば、余弦定理により、

 BD2=AB2+AD2-2・AB・ADcosθ=CB2+CD2-2・CB・CDcos(π-θ) 、

 BD2=172+1162-2・17・116cosθ=872+242+2・87・24cosθ 、

 BD2=13745-3944cosθ=8145+4176cosθ 、-8120cosθ=-5600 、cosθ=20/29 になり、

 BD2=13745-3944・20/29=11025 、BD=105 です。

 BC/3=29,CD/3=8,DB/3=35 だから、(29+8+35)/2=36 、ヘロンの公式により、

 △BCD/9=√{36(36-29)(36-8)(36-35)}=√(36・7・28・1)=6・7・2 、

 求める外接円の半径は、3・(29・8・35)/(4・6・7・2)=145/2 です。


[解答2]

 対角線の交点を P とすれば、

 PA:PB:PC:PD=DA・AB:AB・BC:BC・CD:CD・DA=116・17:17・87:87・24:24・116

  =4・17:17・3:3・24:24・4=68:51:72:96 、

 PA=68k ,PB=51k ,PC=72k ,PD=96k と表せ、AC=140k ,BD=147k です。

 トレミーに定理により、AC・BD=AB・CD+BC・DA だから、140k・147k=17・24+87・116 、

 35k・49k=17・2+29・29 、k2=25/49 、k=5/7 、AC=140k=100 です。

 AC/4=25,CD/4=6,DA/4=29 だから、(25+6+29)/2=30 、ヘロンの公式により、

 △ACD/16=√{30(30-25)(30-6)(30-29)}=√(30・5・24・1)=60 、

 求める外接円の半径は、4・(25・6・29)/(4・60)=145/2 です。


☆ 4辺の長さが a,b,c,d のとき、外接円の半径は次の式のようになります。

 √〔(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)/{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}〕

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