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[答1453] 四角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1453] 四角形の面積


 図のように、平面上に AB=25,AC=36,AD=29 の四角形ABCDがあり、四角形ABCDの外部に

 辺AB,BC,CD,DAを斜辺とする直角二等辺三角形 △PAB,△QBC,△RCD,△SDAを描きます。
1453-四角形の面積
 四角形PQRSが平行四辺形になるとき、もとの四角形ABCDの対角線 BD=?

 また、平行四辺形PQRSの面積は?


[解答]

 A,B,C,D が左回りであるとし、

 複素平面上で A(2a),B(2b),C(2c),D(2d),P(p),Q(q),R(r),S(s) とします。

 Bを中心に、BAを45゚回転し、1/√2 倍すればBPになるので、

 p-b=(a-b)(cos45゚+i・sin45゚)/√2=(a-b)(1+i) 、p=a(1+i)+b(1-i) で、

 同様に、q=b(1+i)+c(1-i) ,r=c(1+i)+d(1-i) ,s=d(1+i)+a(1-i) ですので、

 r-p=(c-a)(1+i)+(d-b)(1-i)=(-a-b+c+d)-(a-b-c+d)i 、

 s-q=(d-b)(1+i)+(a-c)(1-i)=(a-b-c+d)+(-a-b+c+d)i=i(r-p) だから、

 四角形PQRSの対角線 PR,QS は 垂直で等長、四角形PQRSは平行四辺形ですので、

 結局、四角形PQRSは正方形です。

 また、p+r=(a+c)(1+i)+(b+d)(1-i) ,q+s=(b+d)(1+i)+(a+c)(1-i) 、

 四角形PQRSが平行四辺形ですので、PR,QSの中点が一致し、(p+r)/2=(q+s)/2 、p+r=q+s 、

 (a+c)(1+i)+(b+d)(1-i)=(b+d)(1+i)+(a+c)(1-i) 、2(a+c)i=2(b+d)i 、

 a+c=b+d となって、四角形ABCDも平行四辺形であったことが分かります。
1453-四角形の面積
 △ABCでパップスの中線定理より、2{(BD/2)2+(AC/2)2}=AB2+BC2 、BD2+AC2=2(AB2+BC2) 、

 BD2=2(AB2+BC2)-AC2=2(252+292)-362=1636 、BD=√1636=2√409 です。

 次に、(25+36+29)/2=45 だから、ヘロンの公式より

 △ABC=√{45(45-25)(45-36)(45-29)}=√(45・20・9・16)=30・3・4=360 、

 △APS≡△BPQ≡△CRQ≡△DRS だから、

 正方形PQRS=2・五角形APBQC=2(△APB+△BQC+△ABC)=2(252/4+292/4+360)=1453 です。


[参考1]

 四角形ABCDの外部に 各辺を斜辺とする直角二等辺三角形ABP,BCQ,CDR,DAS を描けば

 PR=QS ,PR⊥QS になります。ヴァン・オーベルの定理(Van Aubel's theorem)といいます。

 四角形ABCDが平行四辺形の場合は 四角形PQRSは正方形になります。

 これをテボールの定理というようです。四角形PQRSは正方形であれば、

 AP=BP ,PS=PQ ,∠APS=∠BPQ より △APS≡△BPQ 、

 BQ=CQ ,PQ=RQ ,∠BQP=∠CQR より △BPQ≡△CRQ 、

 よって、△APS≡△CRQ 、AP=CR ,AS=CQ になり、√2倍して AB=CD ,AD=CB 、

 四角形ABCDは平行四辺形になり、逆も成り立ちます。

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