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[答135] 135゚以上の角をつくる点の存在範囲

ヤドカリ

ヤドカリ



[答135] 135゚以上の角をつくる点の存在範囲


 面積が 6/7 で∠A=90゚ の直角二等辺三角形ABCの辺AB,BC,CAの中点をL,M,Nとするとき、

 正方形ALMNの内部にあって、∠BPC>135゚ を満たす点Pの存在する範囲の面積は?


[解答]

 AB=AC=2a とすると、2a2=6/7 より a2=3/7 です。

 また、正方形ABDCを作ると、

 ∠BPC=135゚ になる点Pは、中心がDで半径が2aである円周上にあるから、

 条件に合う点Pの存在範囲は、図の青の部分になります。

 また、この弧とLM,NMとの交点をE,Fとすれば、∠BDE=∠EDF=∠FDC=30゚ です。

 よって、求める青の部分の面積は、

 π(2a)2/12-2・(1/2)・2a・(√2)a・sin15゚

  =(3/7)π/3-(3/7)(2√2)sin(60゚-45゚)=π/7-(3/7)(2√2)(sin60゚cos45゚-cos60゚sin45゚)

  =π/7-(3/7)(√3-1)=(π+3-3√3)/7

☆ 追記

 求める青の部分の面積は、扇形DEF+正方形MGDH-△EDH-△FGD として求めると、

 π(2a)2/12+a2-(√3)a2=(π/3+1-√3)a2

 となって、sin15゚ が不要です。再出発さんより指摘がありました。

☆ もとの面積の6/7は不自然に見えるかもしれませんが、面積の近似値は 0.135062890 です。

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Comments 14

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いっちゃん  
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おはようございます。。
ムラサキカタバミ、私も大好き。。小さな花で健気に
咲いてる姿が可愛いです^^でもたくさん咲いていますね♪ポチ

uch*n*an  
No title

>また、この弧とLM,NMとの交点をE,Fとすれば、∠BDE=∠EDF=∠FDC=30゚ です。
ここの所,対称性より明らかでしたね。
以前の私の解答では若干面倒なことを考えていました (^^;

スモークマン  
No title

そっか...同じ図にいたるも...ずっと簡明ね♪
複雑に考えすぎてました...^^;
撃沈するはず...Orz...

黒翼  
No title

簡潔で分かりやすい解答ですね.

僕もそのような解答が書けるように頑張ります.

傑作ポチッ!

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
ムラサキカタバミは確か江戸時代末期に観賞用に日本に入った帰化植物です。
長崎の出島経由かな? 末期だから他の港かも知れません。
これは、古墳の近くに咲いていましたが、当然古墳時代にはなかったはずです。
南アメリカ原産で、花言葉は「喜び」「心の輝き」だそうです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
解答説明の記事にはコメントが少ないです。
他の方にも別の解き方や感想を書いてほしいといつも思います。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
解答をよせて下さる方より図が使えるだけ有利です。
ま、ブログを開設している者の特権ですね。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難う御座います。
お褒めに預かり恐縮です。
よかったら、「こんな解き方をしました」と、出題時の解答をコピペして下さいね。
私が考えなかった解き方やいいなぁと思った解き方は、その前に記事で紹介しますが……。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
かわいいですネ。家でも、また、いっぱい咲き出しました (o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、いつもコメントを有難う御座います。
カタバミは近辺でよく見られます。黄色と紫です。
山に咲くミヤマカタバミも素敵です。

いっちゃん  
No title

ムラサキカタバミって帰化植物だったのですか?
知らなかったです。
あ!そういえばクロバーは昔オランダからガラスなどを運ぶとき、枯れたものを敷き詰め緩衝材としたのが始まりと
聞いたことがあります。。小さいのに生命力がありますね。。

いっちゃん  
No title

もっとも、カタバミとクローバー・・
区別を判然するのは難しい私です。。笑

ヤドカリ  
No title

再出発さん、わざわざ丁寧な鍵コメントを頂き有難う御座います。
私は意味が通じていたらあまり細かいことに拘らないだけで、
決して「寛大な計らい」というようなものではありません。
なお、余分に図を描きたくないので、文字は変えたかも知れません。

再出発  
No title

了解です。
ありがとうございました。
(返信コメは不要です・・・)