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[答1459] 立方と余り

ヤドカリ

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[答1459] 立方と余り


 n3 を n-148 で割った余りが 1000 である 148より大きい正の奇数nのうち、

 最小の数は? また、該当する奇数の個数は?


[解答]

 n3=(n-148)(n2+148n+1482)+1483 だから、1483 を n-148 で割った余りも 1000 です。

 従って、n-148 は 1000 より大きく 1483-1000 の約数です。

 1483-1000=(148-10)(1482+148・10+102)=138・4(742+74・5+52)=138・4・5871=23・32・19・23・103 、

 n-148 は奇数ですので、32・19・23・103 の約数、

 1000より大きい最小の約数は 3・19・23=1311 ですので、最小数は n-148=1311 、n=1459 です。

 また、32・19・23・103 の約数は 3・2・2・2=24 個あり、

 小さい方からk番目の約数と大きい方からk番目の約数の積は 32・19・23・103 です。

 また、32・19・23・103/1311=3・103=309 、

 309より大きく 1311より小さい約数は 19・23=437,32・103=927 だけですので、

 該当する約数は (24-2)/2=11 個です。

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