[答1459] 立方と余り

[答1459] 立方と余り


　n³ を n－148 で割った余りが 1000 である 148より大きい正の奇数ｎのうち、

　最小の数は？　また、該当する奇数の個数は？


[解答]

　n³＝(n－148)(n²＋148n＋148²)＋148³ だから、148³ を n－148 で割った余りも 1000 です。

　従って、n－148 は 1000 より大きく 148³－1000 の約数です。

　148³－1000＝(148－10)(148²＋148･10＋10²)＝138･4(74²＋74･5＋5²)＝138･4･5871＝2³･3²･19･23･103 、

　n－148 は奇数ですので、3²･19･23･103 の約数、

　1000より大きい最小の約数は 3･19･23＝1311 ですので、最小数は n－148＝1311 、n＝1459 です。

　また、3²･19･23･103 の約数は 3･2･2･2＝24 個あり、

　小さい方からｋ番目の約数と大きい方からｋ番目の約数の積は 3²･19･23･103 です。

　また、3²･19･23･103/1311＝3･103＝309 、

　309より大きく 1311より小さい約数は 19･23＝437，3²･103＝927 だけですので、

　該当する約数は (24－2)/2＝11 個です。

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