[答1460] 式の値

[答1460] 式の値


　a＝cos(18ﾟ/73)＋i･sin(18ﾟ/73) のとき、 (a－1)(a²－1)(a³－1)(a⁴－1)･……･(a¹⁴⁵⁸－1)(a¹⁴⁵⁹－1)＝？


[解答]

　a＝cos(18ﾟ/73)＋i･sin(18ﾟ/73) 、a¹⁴⁶⁰＝cos360ﾟ＋i･sin360ﾟ＝1 、

　n＝0，1，2，3，4，……，1458，1459 において aⁿ はすべて異なり、(aⁿ)¹⁴⁶⁰＝1 だから、

　z¹⁴⁶⁰－1＝(z－1)(z－a)(z－a²)(z－a³)(z－a⁴)･……･(z－a¹⁴⁵⁸)(z－a¹⁴⁵⁹) 、

　z¹⁴⁶⁰－1＝(z－1)(z¹⁴⁵⁹＋z¹⁴⁵⁸＋……＋z⁴＋z³＋z²＋z＋1) だから、

　(z－a)(z－a²)(z－a³)(z－a⁴)･……･(z－a¹⁴⁵⁸)(z－a¹⁴⁵⁹)

　 ＝z¹⁴⁵⁹＋z¹⁴⁵⁸＋……＋z⁴＋z³＋z²＋z＋1 です。

　z＝1 を代入して、

　(1－a)(1－a²)(1－a³)(1－a⁴)･……･(1－a¹⁴⁵⁸)(1－a¹⁴⁵⁹)＝1460 、

　(a－1)(a²－1)(a³－1)(a⁴－1)･……･(a¹⁴⁵⁸－1)(a¹⁴⁵⁹－1)＝－1460 です。


[参考]

　半径１の円に内接する正ｎ角形の１つの頂点と他の頂点を結ぶ n－1 本の線分の長さの積はｎである

　スモークマンさんから、この定理の発見者はコーツ(Roger Cotes 1682～1716)、

　ニュートンの弟子で、プリンキピア第２版の編集を行った という情報を頂きました。

　ｎを自然数とし、a＝cos(2π/n)＋i･sin(2π/n) とすれば、aⁿ＝cos2π＋i･sin2π＝1 、

　k＝0，1，2，……，n－1 において

　a^k は 複素平面上で単位円に内接する正ｎ角形の頂点で、(a^k)ⁿ＝1 だから、

　zⁿ－1＝(z－1)(z－a)(z－a²)･……･(z－a^n-1) 、

　zⁿ－1＝(z－1)(z^n-1＋……＋z²＋z＋1) と因数分解できるので、

　(z－a)(z－a²)･……･(z－a^n-1)＝(z^n-1＋……＋z²＋z＋1) 、

　z＝1 を代入して、(1－a)(1－a²)･……･(1－a^n-1)＝n 、|1－a||1－a²|･……･|1－a^n-1|＝n になります。

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