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[答1460] 式の値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1460] 式の値


 a=cos(18゚/73)+i・sin(18゚/73) のとき、 (a-1)(a2-1)(a3-1)(a4-1)・……・(a1458-1)(a1459-1)=?


[解答]

 a=cos(18゚/73)+i・sin(18゚/73) 、a1460=cos360゚+i・sin360゚=1 、

 n=0,1,2,3,4,……,1458,1459 において an はすべて異なり、(an)1460=1 だから、

 z1460-1=(z-1)(z-a)(z-a2)(z-a3)(z-a4)・……・(z-a1458)(z-a1459) 、

 z1460-1=(z-1)(z1459+z1458+……+z4+z3+z2+z+1) だから、

 (z-a)(z-a2)(z-a3)(z-a4)・……・(z-a1458)(z-a1459)

  =z1459+z1458+……+z4+z3+z2+z+1 です。

 z=1 を代入して、

 (1-a)(1-a2)(1-a3)(1-a4)・……・(1-a1458)(1-a1459)=1460 、

 (a-1)(a2-1)(a3-1)(a4-1)・……・(a1458-1)(a1459-1)=-1460 です。


[参考]

 半径1の円に内接する正n角形の1つの頂点と他の頂点を結ぶ n-1 本の線分の長さの積はnである

 スモークマンさんから、この定理の発見者はコーツ(Roger Cotes 1682~1716)、

 ニュートンの弟子で、プリンキピア第2版の編集を行った という情報を頂きました。

 nを自然数とし、a=cos(2π/n)+i・sin(2π/n) とすれば、an=cos2π+i・sin2π=1 、

 k=0,1,2,……,n-1 において

 ak は 複素平面上で単位円に内接する正n角形の頂点で、(ak)n=1 だから、

 zn-1=(z-1)(z-a)(z-a2)・……・(z-an-1) 、

 zn-1=(z-1)(zn-1+……+z2+z+1) と因数分解できるので、

 (z-a)(z-a2)・……・(z-an-1)=(zn-1+……+z2+z+1) 、

 z=1 を代入して、(1-a)(1-a2)・……・(1-an-1)=n 、|1-a||1-a2|・……・|1-an-1|=n になります。

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