[答1461] 循環小数の途中の４桁の数字

[答1461] 循環小数の途中の４桁の数字


　1/998001 を小数に直したときの 小数第39400位からの４桁の数字は？

　また、その４個の数字の並びが最初に現れるのは小数第何位から？


[解答]

　下記の理由により、1/998001 は 循環節が 000 001 002 003 …… 997 999 である 純循環小数です。

　循環節は 3･999＝2997 桁であり、39400÷2997 の余りは 439 ですので、

　小数第39400位からの４桁の数字は、小数第439位からの４桁の数字に一致します。

　小数第(3n－2)位から小数第(3n)位の３桁は、1≦n≦998 のとき n－1 ，n＝999 のとき 999 で、

　1/998001＝0．000 001 002 003 004 005 …… の、小数第441位までの３桁は 441/3－1＝146 、

　小数第439位からの４桁の数字は 1461 です。

　次は 614 615 の部分で、小数第1845位までの３桁は 1845/3－1＝614 、小数第1844位からの４桁です。


[理由1]

　0＜x＜1 のとき　1/(1－x)＝1＋x＋x²＋x³＋x⁴＋x⁵＋…… ですので、

　両辺を微分すれば、1/(1－x)²＝1＋2x＋3x²＋4x³＋5x⁴＋…… 、 　

　両辺に x² を掛けて、x²/(1－x)²＝x²＋2x³＋3x⁴＋4x⁵＋5x⁶＋…… 、 　

　x＝1/1000 を代入して、1/998001＝1/1000²＋2/1000³＋3/1000⁴＋4/1000⁵＋5/1000⁶＋…… です。

　1/998001＝0．000 001 002 003 …… 997 998 999 のあとは 1000 ，1001 ，1002 ，…… で、

　繰り上がりがおこって、1/998001＝0．000 001 002 003 …… 997 999 000 001 …… になります。

　3･999＝2997桁までは明らかに循環しないので、循環節の長さは 2997桁と予想されます。

　10²⁹⁹⁷＝(1＋999)⁹⁹⁹＝1＋₉₉₉Ｃ₁･999＋₉₉₉Ｃ₂･999²＋₉₉₉Ｃ₃･999³＋……＋999⁹⁹⁹ より、

　10²⁹⁹⁷－1 は 999²＝998001 の倍数だから、循環節の長さは 2997桁と確定します。


[理由2]

　1/998001 を小数に直すのに、0． のあと３桁毎の計算をすることにします。

　まず、1 を 1000倍し、1000÷998001 を計算、商 000 を 0． のあとに記します。余りは 1000 です。

　余りを 1000倍し、1000000÷998001 を計算、商 001 を 0．000 のあとに記します。余りは 1999 です。

　余りを 1000倍し、1999000÷998001 を計算、商 002 を 0．000001 のあとに記します。余りは 2998 です。

　これを繰り返していくことになります。

　余りは 998001＝999² より小さいので、余りを 999a＋b (0≦a≦998，0≦b≦998) と表すと、

　1000(999a＋b)＝(999＋1)(999a＋b)＝998001a＋999(a＋b)＋b＝998001(a＋1)＋999(a＋b－999)＋b だから、

　1000(999a＋b) を 998001 で割った(商，余り)は、

　0≦a＋b≦998 のとき (a，999(a＋b)＋b) ，999≦a＋b≦1996 のとき (a＋1，999(a＋b－999)＋b) です。

　1＝999･0＋1 ですので、(商，余り)を順に並べると、

　(0，999･0＋1)→(1，999･1＋1)→(2，999･2＋1)→(3，999･3＋1)→(4，999･4＋1)→(5，999･5＋1)→ ……

　→(997，999･997＋1)→(999，999･998＋1)→(0，999･0＋1)→(1，999･1＋1)→(2，999･2＋1)→ ……

　0． のあとに商を並べると 0．000 001 002 003 004 005 …… 997 999 000 001 002 …… です。

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