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[答1461] 循環小数の途中の4桁の数字

ヤドカリ

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[答1461] 循環小数の途中の4桁の数字


 1/998001 を小数に直したときの 小数第39400位からの4桁の数字は?

 また、その4個の数字の並びが最初に現れるのは小数第何位から?


[解答]

 下記の理由により、1/998001 は 循環節が 000 001 002 003 …… 997 999 である 純循環小数です。

 循環節は 3・999=2997 桁であり、39400÷2997 の余りは 439 ですので、

 小数第39400位からの4桁の数字は、小数第439位からの4桁の数字に一致します。

 小数第(3n-2)位から小数第(3n)位の3桁は、1≦n≦998 のとき n-1 ,n=999 のとき 999 で、

 1/998001=0.000 001 002 003 004 005 …… の、小数第441位までの3桁は 441/3-1=146 、

 小数第439位からの4桁の数字は 1461 です。

 次は 614 615 の部分で、小数第1845位までの3桁は 1845/3-1=614 、小数第1844位からの4桁です。


[理由1]

 0<x<1 のとき 1/(1-x)=1+x+x2+x3+x4+x5+…… ですので、

 両辺を微分すれば、1/(1-x)2=1+2x+3x2+4x3+5x4+…… 、  

 両辺に x2 を掛けて、x2/(1-x)2=x2+2x3+3x4+4x5+5x6+…… 、  

 x=1/1000 を代入して、1/998001=1/10002+2/10003+3/10004+4/10005+5/10006+…… です。

 1/998001=0.000 001 002 003 …… 997 998 999 のあとは 1000 ,1001 ,1002 ,…… で、

 繰り上がりがおこって、1/998001=0.000 001 002 003 …… 997 999 000 001 …… になります。

 3・999=2997桁までは明らかに循環しないので、循環節の長さは 2997桁と予想されます。

 102997=(1+999)999=1+9991・999+9992・99929993・9993+……+999999 より、

 102997-1 は 9992=998001 の倍数だから、循環節の長さは 2997桁と確定します。


[理由2]

 1/998001 を小数に直すのに、0. のあと3桁毎の計算をすることにします。

 まず、1 を 1000倍し、1000÷998001 を計算、商 000 を 0. のあとに記します。余りは 1000 です。

 余りを 1000倍し、1000000÷998001 を計算、商 001 を 0.000 のあとに記します。余りは 1999 です。

 余りを 1000倍し、1999000÷998001 を計算、商 002 を 0.000001 のあとに記します。余りは 2998 です。

 これを繰り返していくことになります。

 余りは 998001=9992 より小さいので、余りを 999a+b (0≦a≦998,0≦b≦998) と表すと、

 1000(999a+b)=(999+1)(999a+b)=998001a+999(a+b)+b=998001(a+1)+999(a+b-999)+b だから、

 1000(999a+b) を 998001 で割った(商,余り)は、

 0≦a+b≦998 のとき (a,999(a+b)+b) ,999≦a+b≦1996 のとき (a+1,999(a+b-999)+b) です。

 1=999・0+1 ですので、(商,余り)を順に並べると、

 (0,999・0+1)→(1,999・1+1)→(2,999・2+1)→(3,999・3+1)→(4,999・4+1)→(5,999・5+1)→ ……

 →(997,999・997+1)→(999,999・998+1)→(0,999・0+1)→(1,999・1+1)→(2,999・2+1)→ ……

 0. のあとに商を並べると 0.000 001 002 003 004 005 …… 997 999 000 001 002 …… です。

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