[答1463] 半円の内接円

[答1463] 半円の内接円


　半円の直径と弧の両方に接する円を (半円の)内接円ということにします。

　半径が 252 の半円に互いに外接する２個の内接円があり、

　この２個の円の半径が自然数であるとき、その２つの半径は？


[解答]

　２個の内接円の半径を m，n とします。

　半径が m の内接円と 半円の直径の接点と 直径の中点の距離は、

　√｛(252－m)²－m²｝＝√｛252(252－2m)｝＝6√｛14(126－m)｝ 、

　同様に、半径が n の内接円については、6√｛14(126－n)｝ です。

　よって、半円の直径上の２つの接点の距離の平方は、

　〔6√｛14(126－m)｝±6√｛14(126－n)｝〕²＝(m＋n)²－(m－n)² 、

　36〔√｛14(126－m)｝±√｛14(126－n)｝〕²＝4mn 、

　14(126－m)＋14(126－n)±2･14√｛(126－m)(126－n)｝＝mn/9 、

　126－m＋126－n±2√｛(126－m)(126－n)｝＝mn/126 、

　±√｛(126－m)(126－n)｝＝mn/252＋(m＋n)/2－126 、

　126²－126(m＋n)＋mn＝｛mn/252＋(m＋n)/2｝²－252｛mn/252＋(m＋n)/2｝＋126² 、

　2mn＝｛2mn/504＋(m＋n)/2｝² になり、

　2mn は有理数の平方で 偶数だから、k を自然数として 2mn＝(2k)² と表され、

　2k＝4k²/504＋(m＋n)/2 、m＋n＝4k－k²/63 、k は 21 の倍数です。

　k＝21c とおけば、m＋n＝84c－7c²＝7c(12－c) だから 0＜c＜12 です。

　また、mn＝2k²＝2(21c)²＝18(7c)² だから、

　m，n は x²－7c(12－c)x＋18(7c)²＝0 の解になります。

　判別式は (7c)²(12－c)²－4･18(7c)²＝(7c)²｛(12－c)²－72｝ で、

　これが平方数になるのは、c＝1，3 です。

　c＝1 のとき、x²－11･7x＋18･7²＝0 、(x－2･7)(x－9･7)＝0 、x＝14，63 であり、　

　c＝3 のとき、x²－9･21x＋18･21²＝0 、(x－3･21)(x－6･21)＝0 、x＝63，126 ですので、

　14 と 63 または 63 と 126 です。

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