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[答1463] 半円の内接円

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1463] 半円の内接円


 半円の直径と弧の両方に接する円を (半円の)内接円ということにします。
1463-半円の内接円0
 半径が 252 の半円に互いに外接する2個の内接円があり、

 この2個の円の半径が自然数であるとき、その2つの半径は?


[解答]

 2個の内接円の半径を m,n とします。
1463-半円の内接円
 半径が m の内接円と 半円の直径の接点と 直径の中点の距離は、

 √{(252-m)2-m2}=√{252(252-2m)}=6√{14(126-m)} 、

 同様に、半径が n の内接円については、6√{14(126-n)} です。

 よって、半円の直径上の2つの接点の距離の平方は、

 〔6√{14(126-m)}±6√{14(126-n)}〕2=(m+n)2-(m-n)2

 36〔√{14(126-m)}±√{14(126-n)}〕2=4mn 、

 14(126-m)+14(126-n)±2・14√{(126-m)(126-n)}=mn/9 、

 126-m+126-n±2√{(126-m)(126-n)}=mn/126 、

 ±√{(126-m)(126-n)}=mn/252+(m+n)/2-126 、

 1262-126(m+n)+mn={mn/252+(m+n)/2}2-252{mn/252+(m+n)/2}+1262

 2mn={2mn/504+(m+n)/2}2 になり、

 2mn は有理数の平方で 偶数だから、k を自然数として 2mn=(2k)2 と表され、

 2k=4k2/504+(m+n)/2 、m+n=4k-k2/63 、k は 21 の倍数です。

 k=21c とおけば、m+n=84c-7c2=7c(12-c) だから 0<c<12 です。

 また、mn=2k2=2(21c)2=18(7c)2 だから、

 m,n は x2-7c(12-c)x+18(7c)2=0 の解になります。

 判別式は (7c)2(12-c)2-4・18(7c)2=(7c)2{(12-c)2-72} で、

 これが平方数になるのは、c=1,3 です。

 c=1 のとき、x2-11・7x+18・72=0 、(x-2・7)(x-9・7)=0 、x=14,63 であり、 

 c=3 のとき、x2-9・21x+18・212=0 、(x-3・21)(x-6・21)=0 、x=63,126 ですので、

 14 と 63 または 63 と 126 です。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンアーベント ^^

どうやって求めたのかもう忘れてしまいましたが...
かなり野暮ったい方法で、PC使っていっぱい計算したのを思い出します ^^;
それにしても、急に寒くなってきましたねぇ ^^;;

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
この問題は図形問題だけでなく整数問題でもありますね。
ところで、私は朝起きにかなり苦しんでいます。
気象情報もコロナのニュースも気が滅入ります。