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[答1464] 曲線の長さの比

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1464] 曲線の長さの比


 y=log(cosx) (0≦x<π/2) のグラフの

 0≦x≦π/6 の部分の長さを L ,π/10≦x≦3π/10 の部分の長さを M とするとき、M/L=?


[解答]

 y=log(cosx) について y'=-sinx/cosx=-tanx ですので、

 √{1+(y')2}=√(1+tan2x)=√(1/cos2x)=1/cosx=cosx/cos2

  =(1/2)・2cosx/{(1+sinx)(1-sinx)}=(1/2){cosx/(1+sinx)+cosx/(1-sinx)} 、

 √{1+(y')2}dx

  =(1/2){log(1+sinx)-log(1-sinx)}+C=(1/2)log{(1+sinx)/(1-sinx)}+C です。

 f(x)=(1/2)log{(1+sinx)/(1-sinx)} とおけば、α≦x≦β の部分の長さは、

 0π/6√{1+(y')2}dx=f(β)-f(α) です。

 L=f(π/6)-f(0)=(1/2)log{(1+1/2)/(1-1/2)}-0=(1/2)log3 です。

 次に、sin(π/10)=(√5-1)/4 ,sin(3π/10)=(√5+1)/4 であり、

 f(x)=(1/2)log{(4+4sinx)/(4-4sinx)} だから、

 M=f(3π/10)-f(π/10)=(1/2)log{(5+√5)/(3-√5)}-(1/2)log{(3+√5)/(5-√5)}

  =(1/2)log〔{(5+√5)/(3-√5)}/{(3+√5)/(5-√5)}〕

  =(1/2)log〔{(5+√5)(5-√5)}/{(3+√5)(3-√5)}〕=(1/2)log(20/4)=(1/2)log5 です。

 よって、M/L=log5/log3=log35=1.46497352…… です。


[参考]

 1/cosx=(cos2x+sin2x+sinx)/{cosx(1+sinx)}

  =cosx/(1+sinx)+sinx/cosx と式変形すれば、

 dx/cosx=log(1+sinx)-log|cosx|+C=log{(1+sinx)/|cosx|}+C です。

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