[答1464] 曲線の長さの比

[答1464] 曲線の長さの比


　y＝log(cosｘ) (0≦ｘ＜π/2) のグラフの

　0≦x≦π/6 の部分の長さを L ，π/10≦x≦3π/10 の部分の長さを M とするとき、M/L＝？


[解答]

　y＝log(cosｘ) について y'＝－sinｘ/cosｘ＝－tanｘ ですので、

　√{1＋(y')²}＝√(1＋tan²ｘ)＝√(1/cos²ｘ)＝1/cosｘ＝cosｘ/cos²ｘ

　 ＝(1/2)･2cosｘ/{(1＋sinｘ)(1－sinｘ)}＝(1/2){cosｘ/(1＋sinｘ)＋cosｘ/(1－sinｘ)} 、

　∫√{1＋(y')²}dｘ

　 ＝(1/2){log(1＋sinｘ)－log(1－sinｘ)}＋C＝(1/2)log{(1＋sinｘ)/(1－sinｘ)}＋C です。

　f(x)＝(1/2)log{(1＋sinｘ)/(1－sinｘ)} とおけば、α≦x≦β の部分の長さは、

　∫₀^π/6√{1＋(y')²}dｘ＝f(β)－f(α) です。

　L＝f(π/6)－f(0)＝(1/2)log{(1＋1/2)/(1－1/2)}－0＝(1/2)log3 です。

　次に、sin(π/10)＝(√5－1)/4 ，sin(3π/10)＝(√5＋1)/4 であり、

　f(x)＝(1/2)log{(4＋4sinｘ)/(4－4sinｘ)} だから、

　M＝f(3π/10)－f(π/10)＝(1/2)log{(5＋√5)/(3－√5)}－(1/2)log{(3＋√5)/(5－√5)}

　 ＝(1/2)log〔{(5＋√5)/(3－√5)}/{(3＋√5)/(5－√5)}〕

　 ＝(1/2)log〔{(5＋√5)(5－√5)}/{(3＋√5)(3－√5)}〕＝(1/2)log(20/4)＝(1/2)log5 です。

　よって、M/L＝log5/log3＝log₃5＝1.46497352…… です。


[参考]

　1/cosｘ＝(cos²ｘ＋sin²ｘ＋sinｘ)/{cosｘ(1＋sinｘ)}

　 ＝cosｘ/(1＋sinｘ)＋sinｘ/cosｘ と式変形すれば、

　∫dｘ/cosｘ＝log(1＋sinｘ)－log|cosｘ|＋C＝log{(1＋sinｘ)/|cosｘ|}＋C です。

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