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[答1465] 面積が最大の四角形

ヤドカリ

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PC230546ビバーナムティヌス



[答1465] 面積が最大の四角形


 ∠A=67゚,BC=14,CD=65 である四角形ABCDの面積Sが最大となるとき ∠C=?


[解答]

 余弦定理より BD2=142+652-2・14・65cosC=4421-1820cosC です。

 △BCDを固定すれば、∠A=67゚ が決まっていますので、△ABDは AB=AD のとき面積が最大です。

 従って、直線BDに関して A,Cが反対側にあり、AB=AD のとき Sば最大になります。

 このとき、BD=2(ABsin33.5゚) だから、AB=AD=BD/(2sin33.5゚) 、

 △ABD=(1/2)AB・AD・sinA=(1/2)BD2・sin67゚/(4sin233.5゚)

  =(4421-1820cosC)(2sin33.5゚cos33.5゚)/(8sin233.5゚)

  =(4421-1820cosC)(cos33.5゚)/(4sin33.5゚) 、

 S=△ABD+△BCD=(4421-1820cosC)(cos33.5゚)/(4sin33.5゚)+(1/2)・14・65sinC 、

 4Ssin33.5゚=(4421-1820cosC)(cos33.5゚)+1820sinCsin33.5゚

  =4421cos33.5゚-1820(cosCcos33.5゚-sinCsin33.5゚)=4421cos33.5゚-1820cos(C+33.5゚) 、

 よって、C+33.5゚=180゚ のとき、すなわち、C=146.5゚ のとき Sは最大になります。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンターク ^^

どう考えればいいのかわかりませんでしたが...^^;
BDを一定にして、ABを半径にした時の内接する□になるのですね!!
Cが円の外になることはないから、その円周上にある時が、その□の面積が最大になってますのね♪
面白い問題でした☆

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
中心がAで 半径が AB(=AD) の円周上にCがあれば
面積が最大になるのですね。