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[答1466] 3枚を取り出すときの確率

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1466] 3枚を取り出すときの確率


 nを3以上の整数とします。
1466-番号カード
 1からnまでのカードが1枚ずつの中から無作為に3枚を取り出すときの最大数が他の2数の和と

 等しい確率を P(n) とするとき、P(n+1)/P(n)=700/701 であれば P(n)=?


[解答]

 3数の取り出し方は n3=n(n-1)(n-2)/6 通りあり、

 3数の最大数を M ,最小数を m とします。

 M=3,4,……,n で、M に対して m=1,2,……,[(M-1)/2] の [(M-1)/2] 通りありますので、

 条件を満たすのは、[2/2]+[3/2]+[4/2]+……+[(n-1)/2] 通りです。

 Mが奇数であれば、[(M-1)/2]=(M-1)/2 ,Mが偶数であれば、[(M-1)/2]=(M-1)/2-1/2 であり、

 M=3,4,……,n のなかに偶数は [n/2]-1 個あるので、

 [2/2]+[3/2]+[4/2]+……+[(n-1)/2]=2/2+3/2+4/2+……+(n-1)/2-([n/2]-1)/2

  ={2/2+(n-1)/2}(n-2)/2-[n/2]/2+1/2=n(n-1)/4-[n/2]/2 になり、

 P(n)={n(n-1)/4-[n/2]/2}/{n(n-1)(n-2)/6}=3{n(n-1)-2[n/2]}/{2n(n-1)(n-2)} です。

 P(n+1)=3{(n+1)n-2[(n+1)/2]}/{2(n+1)n(n-1)} 、

 P(n+1)/P(n)={(n+1)n-2[(n+1)/2]}(n-2)/〔(n+1){n(n-1)-2[n/2]}〕 になります。

 nが奇数のとき、

  P(n+1)/P(n)={(n+1)n-(n+1)}(n-2)/〔(n+1){n(n-1)-(n-1)}〕

  =(n+1)(n-1)(n-2)/{(n+1)(n-1)2}=(n-2)/(n-1) 、

 nが偶数のとき、

  P(n+1)/P(n)={(n+1)n-n}(n-2)/〔(n+1){n(n-1)-n}〕

  =n2(n-2)/{(n+1)n(n-2)}=n/(n+1) ですので、

 P(n+1)/P(n)=700/701 であれば、n=700 です。

 P(n)=3{n(n-1)-2[n/2]}/{2n(n-1)(n-2)} ですので、

 P(700)=3(700・699-700)/(2・700・699・698)=3/(2・699)=1/466 です。

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