[答1466] ３枚を取り出すときの確率

[答1466] ３枚を取り出すときの確率


　ｎを３以上の整数とします。

　１からｎまでのカードが１枚ずつの中から無作為に３枚を取り出すときの最大数が他の２数の和と

　等しい確率を P(n) とするとき、P(n＋1)/P(n)＝700/701 であれば P(n)＝？


[解答]

　３数の取り出し方は _nＣ₃＝n(n－1)(n－2)/6 通りあり、

　３数の最大数を M ，最小数を m とします。

　M＝3，4，……，n で、M に対して m＝1，2，……，[(M－1)/2] の [(M－1)/2] 通りありますので、

　条件を満たすのは、[2/2]＋[3/2]＋[4/2]＋……＋[(n－1)/2] 通りです。

　Mが奇数であれば、[(M－1)/2]＝(M－1)/2 ，Mが偶数であれば、[(M－1)/2]＝(M－1)/2－1/2 であり、

　M＝3，4，……，n のなかに偶数は [n/2]－1 個あるので、

　[2/2]＋[3/2]＋[4/2]＋……＋[(n－1)/2]＝2/2＋3/2＋4/2＋……＋(n－1)/2－([n/2]－1)/2

　 ＝{2/2＋(n－1)/2}(n－2)/2－[n/2]/2＋1/2＝n(n－1)/4－[n/2]/2 になり、

　P(n)＝{n(n－1)/4－[n/2]/2}/{n(n－1)(n－2)/6}＝3{n(n－1)－2[n/2]}/{2n(n－1)(n－2)} です。

　P(n＋1)＝3{(n＋1)n－2[(n＋1)/2]}/{2(n＋1)n(n－1)} 、

　P(n＋1)/P(n)＝{(n＋1)n－2[(n＋1)/2]}(n－2)/〔(n＋1){n(n－1)－2[n/2]}〕 になります。

　ｎが奇数のとき、

　 P(n＋1)/P(n)＝{(n＋1)n－(n＋1)}(n－2)/〔(n＋1){n(n－1)－(n－1)}〕

　 ＝(n＋1)(n－1)(n－2)/{(n＋1)(n－1)²}＝(n－2)/(n－1) 、

　ｎが偶数のとき、

　 P(n＋1)/P(n)＝{(n＋1)n－n}(n－2)/〔(n＋1){n(n－1)－n}〕

　 ＝n²(n－2)/{(n＋1)n(n－2)}＝n/(n＋1) ですので、

　P(n＋1)/P(n)＝700/701 であれば、n＝700 です。

　P(n)＝3{n(n－1)－2[n/2]}/{2n(n－1)(n－2)} ですので、

　P(700)＝3(700･699－700)/(2･700･699･698)＝3/(2･699)＝1/466 です。

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