FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1467] 3元連立方程式

ヤドカリ

ヤドカリ

P1100629.jpg



[答1467] 3元連立方程式


 2x+y=-2 ,2x2+y2=38k2-36k+20 ,2x3+y3=-90k3+102k2+36k-56 のとき 正の数kの値は?


[解答1]

 手計算では困難な方法ですが、

 y=-2x-2 を 2x2+y2=38k2-36k+20 に代入して 2x2+(-2x-2)2=38k2-36k+20 、

 簡単にして、3x2+4x=19k2-18k+8=A とおけば、9x2+12x=3A 、(3x+2)2=3A+4 です。

 y=-2x-2 を 2x3+y3=-90k3+102k2+36k-56 に代入して

 2x3+(-2x-2)3=-90k3+102k2+36k-56 、

 簡単にして、x3+4x2+4x=15k3-17k2-6k+8=B とおきます。

 9x3+36x2+36x=9B 、割り算して、(3k2+4k-A)(3x+8)+(3A+4)x+8A=9B 、(3A+4)x=9B-8A 、

 (3A+4)・3x=3(9B-8A) 、(3A+4)(3x+2)=3(9B-8A)+2(3A+4)=27B-18A+8 、

 (3A+4)2(3x+2)2=(27B-18A+8)2 、(3A+4)3-(27B-18A+8)2=0 、

 (57k2-54k+28)3-(405k3-801k2+162k+80)2=0 、

 21168k6+122472k5-1269k4-479844k3+480924k2-152928k+15552=0 、

 784k6+4536k5-47k4-17772k3+17812k2-5664k+576=0 、

 (k+4)2(4k-1)2(7k-6)2=0 、k>0 より k=1/4,6/7 です。


[解答2]

 2(x2+2xy)=(2x+y)2-(2x2+y2)=4-(38k2-36k+20)=-38k2+36k-16 より、

 x2+2xy=-19k2+18k-8 、

 3x2y=2x3+y3-(2x+y)(x-y)2=2x3+y3-(2x+y)(2x2+y2-x2-2xy)

  =-90k3+102k2+36k-56+2(38k2-36k+20+19k2-18k+8)=-90k3+216k2-72k より、

 x2y=-30k3+72k2-24k 、

 よって、x(2重解),y は つぎのtの3次方程式の解です。

 t3+2t2+(-19k2+18k-8)t-(-30k3+72k2-24k)=0 、

 t3+2t2+(-19k2+18k-8)t+6k(5k2-12k+4)=0 、

 t3+2t2+(-19k2+18k-8)t+6k(k-2)(5k-2)=0 、

 (t-3k){t2+(3k+2)t-2(k-2)(5k-2)}=0 、(t-3k)(t-2k+4)(t+5k-2)=0 、

 t=3k,2k-4,-5k+2 、このうちの2個が等しいので、3k=2k-4 のとき k=-4(不適) 、

 3k=-5k+2 のとき k=1/4 、2k-4=-5k+2 のとき k=6/7 、よって、k=1/4,6/7 です。

 なお、k=-4 のとき x=3k=2k-4=-12 ,y=-5k+2=22 、

 k=1/4 のとき x=3k=-5k+2=3/4 ,y=2k-4=-7/2 、

 k=6/7 のとき x=2k-4=-5k+2=-16/7 ,y=3k=18/7 、

 (k,x,y)=(-4,-12,22),(1/4,3/4,-7/2),(6/7,-16/7,18/7) が連立方程式の解です。

.
スポンサーサイト



Comments 0

There are no comments yet.