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[答1470] 条件を満たす整数の組

ヤドカリ

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[答1470] 条件を満たす整数の組


 x+2y+3z=417 を満たす0以上の整数の組(x,y,z)の個数は?


[解答1]

 y≧0 ,z≧0 ,2y+3z≦417 であれば xは決まります。

 y≦3(139-z)/2 だから、z=0,1,2,……,139 に対して、

 yの値は [3(139-z)/2]+1=[419/2-3z/2] 個であり、

 z=k,k+1 のときの個数の和は、

 [419/2-3・2k/2]+[419/2-3(2k+1)/2]=[209+1/2-3k]+[208-3k]=209-3k+208-3k=417-6k 、

 k=0,1,2,……,69 のときの総和は、(417+417-6・69)・70/2=14700 です。


[解答2]

 y≧0 ,z≧0 ,2y+3z≦417 であれば xは決まります。yz平面でこの領域を考えれば、

 O(0,0),A(208+1/2,0),B(0,139)を頂点とする三角形の周と内側の格子点の数で、n個とします。

 D(-1,-1),E(209,0)とすれば、△BDEの頂点を除く辺上には格子点がないので、

 △OABの格子点と比べ、D,Eが増えるだけですので (n+2)個、そのうち内部にあるのは (n-1)個です。

 また、ベクトル DB,DEは (1,140),(210,1)ですので、△BDE=|140・210-1・1|/2=1470-1/2 です。

 ピックの定理より、(n-1)+3/2-1=1470-1/2 、n=14700 です。


[解答3]

 (a,b,c)=(x+y+z,y+z,z) とおけば、a≧b≧c≧0 で、a+b+c=417 になり、

 (x,y,z)=(a-b,b-c,c) ですので、(x,y,z)と(a,b,c)は1対1に対応します。

 a=b=c のときは (a,b,c)=(139,139,139) の1個です。

 a>b=c または a=b>c と満たすのは、次の 208通りです。

  0≦k<139 のとき (a,b,c)=(417-k,k,k) 、

  139<k≦208 のとき (a,b,c)=(k,k,417-2k) 。

 a≧b≧c の条件をはずせば、a+b+c=417 をみたす(a,b,c)の組は、

 4182=418・419/2=87571 個なので、

 a>b>c となる(a,b,c)の組は (87571-1-3・208)/3!=14491 個、

 よって、a≧b≧c を満たすのは、1+208+14491=14700 個です。

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