[答1471] 極限値

[答1471] 極限値


　n→∞ のとき　{(2n)！/n！}^1/n/n → ？


[解答]

　log{(2n)！/n！}^1/n/n＝log{(n＋1)(n＋2)(n＋3)……(n＋n)/nⁿ}^1/n

　 ＝log{(1＋1/n)(1＋2/n)(1＋3/n)……(1＋n/n)}^1/n

　 ＝(1/n){log(1＋1/n)＋log(1＋2/n)＋log(1＋3/n)＋……＋log(1＋n/n)}

　 →∫₀¹ log(1＋x) dx ＝∫₀¹ (1＋x)'log(1＋x) dx

　 ＝ [(1＋x)log(1＋x)]₀¹－∫₀¹ (1＋x)/(1＋x) dx

　 ＝2log2－[x]₀¹＝2log2－1＝log(4/e)

　{(2n)！/n！}^1/n/n → 4/e＝1.4715177…… です。

.