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[答1471] 極限値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1471] 極限値


 n→∞ のとき {(2n)!/n!}1/n/n → ?


[解答]

 log{(2n)!/n!}1/n/n=log{(n+1)(n+2)(n+3)……(n+n)/nn}1/n

  =log{(1+1/n)(1+2/n)(1+3/n)……(1+n/n)}1/n

  =(1/n){log(1+1/n)+log(1+2/n)+log(1+3/n)+……+log(1+n/n)}

  →01 log(1+x) dx =01 (1+x)'log(1+x) dx

  = [(1+x)log(1+x)]0101 (1+x)/(1+x) dx

  =2log2-[x]01=2log2-1=log(4/e)

 {(2n)!/n!}1/n/n → 4/e=1.4715177…… です。

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