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[答136] 自然数解の組数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答136] 自然数解の組数


 a+b+c=33,a≦16,b≦16,c≦16 を満たす自然数の組(a,b,c)は何組?



[解答1]

 (17-a)+(17-b)+(17-c)=18 を満たす自然数の組(17-a,17-b,17-c)は何組か

 という問題と同じです。

 ○ア○イ○ウ○エ○オ○カ○キ○ク○ケ○コ○サ○シ○ス○セ○ソ○タ○チ○

 の、ア~チの中から2つ選んで区切りを入れ、左の区切りの左の○の数を 17-a,

 2つの区切りの間の○の数を 17-b,右の区切りの右の○の数を 17-c とすれば良いから、 

  (例えば、オ と ソ に区切りを入れると、17-a=5,17-b=10,17-c=3 になります)

 172=136 組です。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

 a+b+c=33, c=33-a-b≦16, 17≦a+b, 1≦a≦16, 1≦b≦16

 これを満たす (a,b) の組を (a,b)-座標平面上の格子点の個数として数えます。

 (16・16+16)/2=272/2=136 組


[解答3] uch*n*anさんの解答より

 まずは,a,b,c が 16 以下という条件をはずしたものを求めます。

 これは,○を 33 個並べ,○の間を二つ選んで仕切りを入れるのと同じなので 322 組。

 次に,16 以下の条件を満たさないものを数えて除きます。

 a+b+c=33 より,a,b,c は一つしか 17 以上になれません。

 a≧17 の場合は,a=x+16 として x+b+c=17 の自然数解の組数と同じです。

 これは,○を 17 個並べ,○の間を二つ選んで仕切りを入れるのと同じなので 162 組。

 b≧17,c≧17 の場合も同じなので,16 以下の条件を満たさないものは,162・3 組。

 そこで,322162・3=(32・31)/2-3・(16・15)/2=8・(62-45)=136 組。

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Comments 4

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ヤドカリ  
No title

私は[解答1]しか用意していませんでしたのでuch*n*anさんの解答を引用させて頂きました。
最も単純な数え上げは省略しました。
uch*n*anさんの解答にも[解答1]の解き方もありました。

黒翼  
No title

[解答1]で,なぜ17C2になるのですか.

幼稚な質問ですみませんが,よろしくお願いします.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
解答を詳しくしましたのでご覧下さい。
[解答3]のCの使い方も同じです。

黒翼  
No title

分かりやすい解説ありがとうございます.

僕は理解力がまだまだなので,これからも時々このような質問をするかもしれません.