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[答1472] 値の最大値・最小値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1472] 値の最大値・最小値


 a+b+c=7,abc=9 を満たす正の数 a,b,c について、

 (a+2)(b+2)(c+2) の最大値は? また、最小値は?


[解答1]

 0<a<7 で、b+c=7-a ,bc=9/a だから、

 x=b,c を解とする2次方程式は x2-(7-a)x+9/a=0 になり、

 判別式は (7-a)2-36/a≧0 、a3-14a2+49a-36≧0 、(a-1)(a-4)(a-9)≧0 、

 0<a<7 と併せて、1≦a≦4 です。

 また、(x-b)(x-c)=x2-(7-a)x+9/a であり、x=-2 を代入すれば、

 (-2-b)(-2-c)=4+2(7-a)+9/a 、(b+2)(c+2)=-2a+18+9/a です。

 f(a)=(a+2)(b+2)(c+2)=(a+2)(-2a+18+9/a) とすれば、

 f'(a)=-2a+18+9/a+(a+2)(-2-9/a2)=-2a+18+9/a-2a-9/a-4-18/a2

  =-4a+14-18/a2=-2(2a3-7a2+9)/a2=-2(a+1)(2a-3)(a-3)/a2 になり、

 f(a)は 区間[1,3/2]で減少, 区間[3/2,3]で増加,区間[3,4]で減少で、

 f(1)=75 ,f(3/2)=147/2 ,f(3)=75 ,f(4)=147/2 だから、最大値は 75 ,最小値は 147/2 です。


[解答2]

 k=bc+ca+ab とすれば、

 (a+2)(b+2)(c+2)=abc+2(bc+ca+ab)+4(a+b+c)+8=9+2k+4・7+8=2k+45 です。

 また、a,b,c は x3-7x2+kx-9=0 すなわち -x2+7x+9/x=k の解です。

 a=b=c にならないので、y=-x2+7x+9/x ,y=k のグラフが x>0 の部分で

 3ヶ所で交わるか、1ヶ所で接して他の1ヶ所で交わることになります。

 y=-x2+7x+9/x について、

 y'=-2x+7-9/x2=-(2x3-7x2+9)/x2=-(x+1)(2x-3)(x-3)/x2 なので、

 y は 3/2<x<3 のとき増加、0<x<3/2,3<x のとき減少で、

 x→+0 のとき y→∞ ,x=3/2 のとき y=57/4 ,x=3 のとき y=15 ,x→∞ のとき y→-∞ 、

 よって、57/4≦k≦15 、57/2≦2k≦30 、147/2≦2k+45≦75 になり、

 (a+2)(b+2)(c+2) の 最大値は 75 ,最小値は 147/2 です。

 なお、最大値 75 になるのは a,b,c の2個が 3,残りが 1 の場合で、

 最小値 147/2 になるのは a,b,c の2個が 3/2,残りが 4 の場合です。


[解答3]

 相加・相乗平均の関係により、b+c≧2√(bc)=2√(9/a)=6/√a だから、a+6/√a≦7 、

 a√a-7√a+6≦0 、(√a+3)(√a-1)(√a-2)≦0 、1≦√a≦2 、1≦a≦4 です。

 (a+2)(b+2)(c+2)=(a+2){bc+2(b+c)+4}=(a+2){9/a+2(7-a)+4}=(a+2)(-2a+18+9/a)

  =-2a2+14a+45+18/a ですので、

 f(a)=-2a2+14a+45+18/a (1≦a≦4) とおけば、

 f'(a)=-4a+14-18/a2=-2(2a3-7a2+9)/a2=-(a+1)(2a-3)(a-3)/x2 であり、

 最大値・最小値は f(1),f(3/2),f(3),f(4) のいずれかです。

 f(1)=75,f(3/2)=147/2,f(3)=75,f(4)=147/2 だから、最大値は 75 ,最小値は 147/2 です。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンアーベント ^^

よくわからないまま...根拠に乏しい解答で申し訳ありませんでした Orz〜

t^3-7t^2+kt-9=0
の解が正の3実数...

グラフを考えて...変曲点のx座標=7/3...(6t-14=0 から...)
x=7/3 の前後に重根(>0)がある場合がMin or Maxであろうと推測...^^;

・重根xが7/3より大きい場合...
x^2(x-3(x-7/3))=9
(x+1)(x-3/2)(x-3)=0
x=3
この時、(3+2)^2*(3-3(3-7/3)+2)=25*3=75・・・Max

・重根xが7/3より小さい場合...
x^2(x+3(7/3-x))=9
(x+1)(x-3/2)(x-3)=0
x=3/2
この時、(3/2+2)^2*(3/2+3(7/3-3/2)+2)=(7/2)^2*6=49*6/4=147/2 ・・・Min

これで求められた理由はなんなのでしょうか知らん?

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
極大値が0以上または極小値が0以下であればいいので、
3次関数の性質をうまく利用されています。
ただ、説明が不十分で、それをきちんと書くと長くなります。