[答1472] 値の最大値･最小値

[答1472] 値の最大値･最小値


　a＋b＋c＝7，abc＝9 を満たす正の数 a，b，c について、

　(a＋2)(b＋2)(c＋2) の最大値は？　また、最小値は？


[解答1]

　0＜a＜7 で、b＋c＝7－a ，bc＝9/a だから、

　x＝b，c を解とする２次方程式は x²－(7－a)x＋9/a＝0 になり、

　判別式は (7－a)²－36/a≧0 、a³－14a²＋49a－36≧0 、(a－1)(a－4)(a－9)≧0 、

　0＜a＜7 と併せて、1≦a≦4 です。

　また、(x－b)(x－c)＝x²－(7－a)x＋9/a であり、x＝－2 を代入すれば、

　(－2－b)(－2－c)＝4＋2(7－a)＋9/a 、(b＋2)(c＋2)＝－2a＋18＋9/a です。

　f(a)＝(a＋2)(b＋2)(c＋2)＝(a＋2)(－2a＋18＋9/a) とすれば、

　f'(a)＝－2a＋18＋9/a＋(a＋2)(－2－9/a²)＝－2a＋18＋9/a－2a－9/a－4－18/a²

　 ＝－4a＋14－18/a²＝－2(2a³－7a²＋9)/a²＝－2(a＋1)(2a－3)(a－3)/a² になり、

　f(a)は 区間[1，3/2]で減少， 区間[3/2，3]で増加，区間[3，4]で減少で、

　f(1)＝75 ，f(3/2)＝147/2 ，f(3)＝75 ，f(4)＝147/2 だから、最大値は 75 ，最小値は 147/2 です。


[解答2]

　k＝bc＋ca＋ab とすれば、

　(a＋2)(b＋2)(c＋2)＝abc＋2(bc＋ca＋ab)＋4(a＋b＋c)＋8＝9＋2k＋4･7＋8＝2k＋45 です。

　また、a，b，c は x³－7x²＋kx－9＝0 すなわち －x²＋7x＋9/x＝k の解です。

　a＝b＝c にならないので、y＝－x²＋7x＋9/x ，y＝k のグラフが x＞0 の部分で

　３ヶ所で交わるか、１ヶ所で接して他の１ヶ所で交わることになります。

　y＝－x²＋7x＋9/x について、

　y'＝－2x＋7－9/x²＝－(2x³－7x²＋9)/x²＝－(x＋1)(2x－3)(x－3)/x² なので、

　y は 3/2＜x＜3 のとき増加、0＜x＜3/2，3＜x のとき減少で、

　x→＋0 のとき y→∞ ，x＝3/2 のとき y＝57/4 ，x＝3 のとき y＝15 ，x→∞ のとき y→－∞ 、

　よって、57/4≦k≦15 、57/2≦2k≦30 、147/2≦2k＋45≦75 になり、

　(a＋2)(b＋2)(c＋2) の 最大値は 75 ，最小値は 147/2 です。

　なお、最大値 75 になるのは a，b，c の２個が 3，残りが 1 の場合で、

　最小値 147/2 になるのは a，b，c の２個が 3/2，残りが 4 の場合です。


[解答3]

　相加･相乗平均の関係により、b＋c≧2√(bc)＝2√(9/a)＝6/√a だから、a＋6/√a≦7 、

　a√a－7√a＋6≦0 、(√a＋3)(√a－1)(√a－2)≦0 、1≦√a≦2 、1≦a≦4 です。

　(a＋2)(b＋2)(c＋2)＝(a＋2){bc＋2(b＋c)＋4}＝(a＋2){9/a＋2(7－a)＋4}＝(a＋2)(－2a＋18＋9/a)

　 ＝－2a²＋14a＋45＋18/a ですので、

　f(a)＝－2a²＋14a＋45＋18/a (1≦a≦4) とおけば、

　f'(a)＝－4a＋14－18/a²＝－2(2a³－7a²＋9)/a²＝－(a＋1)(2a－3)(a－3)/x² であり、

　最大値･最小値は f(1)，f(3/2)，f(3)，f(4) のいずれかです。

　f(1)＝75，f(3/2)＝147/2，f(3)＝75，f(4)＝147/2 だから、最大値は 75 ，最小値は 147/2 です。

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